Doğal Sayılar Toplamı Problemi Çözümü
Önemli Noktalar
- 1’den n’ye kadar olan doğal sayıların toplamı A
- 23’ten (n-2)'ye kadar olan doğal sayıların toplamı B
- Verilen: A - B = 372
- Amaç: n sayısını bulmak
1’den n’ye kadar olan sayıların toplamı formülü:
$$ A = \frac{n(n+1)}{2} $$
Bir sayı aralığının toplamı, üst ve alt sınırların toplam formülleri farkıyla bulunabilir:
23’ten (n-2)'ye kadar toplam:
$$ B = \text{1’den (n-2)'ye toplam} - \text{1’den 22’ye toplam} $$
Yani:
$$ B = \frac{(n-2)(n-1)}{2} - \frac{22 \cdot 23}{2} $$
Çözüm Adımları
Verilen denklem:
$$ A - B = 372 $$
Yerine yazalım:
$$ \frac{n(n+1)}{2} - \left[ \frac{(n-2)(n-1)}{2} - \frac{22 \cdot 23}{2} \right] = 372 $$
Parantezi açalım:
$$ \frac{n(n+1)}{2} - \frac{(n-2)(n-1)}{2} + \frac{22 \cdot 23}{2} = 372 $$
Ortak payda 2 olduğu için hepsini 2 ile çarparız:
$$ n(n+1) - (n-2)(n-1) + 22 \cdot 23 = 744 $$
Hesaplayalım:
$$ n^2 + n - (n^2 - 3n + 2) + 506 = 744 $$
$$ n^2 + n - n^2 + 3n - 2 + 506 = 744 $$
$$ 4n + 504 = 744 $$
Buradan:
$$ 4n = 744 - 504 = 240 $$
$$ n = \frac{240}{4} = 60 $$
Cevap:
n = 60
Soru seçeneklerine bakarsak doğru cevap A şıkkı (60)’dır.
Sonraki Adımlar
Matematikte sayıların toplamı problemlerini daha hızlı çözmek için başka özel formüller ve teknikler öğrenmek ister misiniz?
n değeri kaçtır?
Anahtar Çıkarımlar
- A, 1’den n’ye kadar olan doğal sayıların toplamıdır: A=\frac{n(n+1)}{2}.
- B, 23’ten (n–2)’ye kadar olan doğal sayıların toplamıdır:
B=\sum_{k=23}^{\,n-2}k=\frac{(n-2)(n-1)}{2}-\frac{22\cdot23}{2}. - Verilen fark:
A - B = 372 \;\Longrightarrow\; 2n + 252 = 372 \;\Longrightarrow\; n=60.
İçindekiler
Çözüm Adımları
- A ve B için formülleri yazalım:
A=\displaystyle\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}
B=\displaystyle\sum_{k=23}^{n-2}k=\sum_{k=1}^{n-2}k-\sum_{k=1}^{22}k =\frac{(n-2)(n-1)}{2}-\frac{22\cdot23}{2}. - A-B farkını hesaplayalım:A - B =\frac{n(n+1)}{2}\;-\;\Bigl[\frac{(n-2)(n-1)}{2}-\frac{22\cdot23}{2}\Bigr] =\frac{4n+504}{2} =2n+252.
- Denklemi çözelim:
2n + 252 = 372 \;\Longrightarrow\; 2n = 120 \;\Longrightarrow\; n = 60.
Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | A: 1’den n’ye Toplam | B: 23’ten (n–2)’ye Toplam |
|---|---|---|
| Formül | A = \dfrac{n(n+1)}{2} | B = \dfrac{(n-2)(n-1)}{2} \;-\;\dfrac{22\cdot23}{2} |
| Toplama Aralığı | 1 \le k \le n | 23 \le k \le n-2 |
Özet Tablosu
| n | A = \frac{n(n+1)}{2} | B = \sum_{k=23}^{n-2}k | A – B |
|---|---|---|---|
| 60 | 1830 | 1458 | 372 |
SSS
S1: A formülünü neden \frac{n(n+1)}{2} olarak alıyoruz?
C1: 1’den n’ye kadar artan tam sayıların toplamı, Gauss toplamı olarak bilinir ve kapalı formülü $\frac{n(n+1)}{2}$’dir.
S2: B formülünde neden 22\cdot23/2 çıkarıyoruz?
C2: 23’ten başlayabilmek için, 1’den 22’ye kadar olan toplamı toplamdan çıkarmamız gerekir.
S3: A - B neden 2n + 252 ifadesine indirgeniyor?
C3: Paydaları eşitleyip terimleri topladıktan sonra kalan sabit terim 252 ve n’li terim 2n olarak birleşir.
S4: Fark denklemimiz başka nasıl çözülebilirdi?
C4: Sayıları açarak ya da doğrudan toplam formüllerini kullanan deneme-yanılma yöntemleri de mümkündür, ancak cebirsel çözüm en hızlısıdır.
Benzer bir toplama problemi çözmek ister misin? @Selver_Onen