Soru:
Tereyağı ve etten oluşan bir öğünde kolesterol hastası Semih Bey’in 320 miligramdan fazla kolesterol almasına izin verilmemektedir.
100 gram tereyağında ortalama 215 miligram, 100 gram kırmızı ette ortalama 65 miligram kolesterol vardır.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Semih Bey’in bir öğünde tüketeceği 200 gram et ve x gram tereyağı için kolesterol kısıtlamasını ifade eden eşitsizliği yazınız.
b) Semih Bey’in kolesterol kısıtlamasına uyması için bir öğünde yiyeceği 390 gram etle birlikte tüketeceği tereyağı miktarının en fazla kaç gram olabileceğini yaklaşık olarak bulunuz (Yaklaşık değer için virgülden sonra iki basamak alınız).
İçindekiler
- Problemin Tanımı ve Anahtar Veriler
- Kolesterol Modelinin Kurulması
- a) Eşitsizliğin Yazılması
- b) Maksimum Tereyağı Miktarının Bulunması
- Sonuçları Özetleyen Tablo
- Çözümün Özeti ve Değerlendirme
1. Problemin Tanımı ve Anahtar Veriler
Semih Bey’in bir öğünde alabileceği azami kolesterol miktarı 320 mg ile sınırlandırılmıştır.
Verilen veriler:
- 100 g tereyağı → 215 mg kolesterol
- 100 g kırmızı et → 65 mg kolesterol
Problemi iki kısıma ayıracağız:
- 200 g et + x g tereyağı durumu için eşitsizliği yazmak.
- 390 g et + y g tereyağı durumunda y’nin maksimum değerini bulmak.
2. Kolesterol Modelinin Kurulması
Genel yaklaşım:
- Et ve tereyağının gram cinsinden miktarını biliyoruz.
- Her 1 gram gıda başına düşen kolesterol miktarını çıkarıp toplam kolesterol ifadesi oluşturacağız.
- Toplam kolesterol ≤ 320 eşitsizliğini kuracağız.
Hesaplamada şu dönüşümleri kullanacağız:
- Et için: 100 g → 65 mg ⇒ 1 g → \tfrac{65}{100}=0{,}65 mg
- Tereyağı için: 100 g → 215 mg ⇒ 1 g → \tfrac{215}{100}=2{,}15 mg
Dolayısıyla,
- m gram et tüketildiğinde kolesterol miktarı 0{,}65\,m mg,
- t gram tereyağı tüketildiğinde kolesterol miktarı 2{,}15\,t mg.
Toplam kolesterol:
\text{Kolesterol}_{\text{toplam}}
= 0{,}65\,m + 2{,}15\,t
Buna göre \text{Kolesterol}_{\text{toplam}} \le 320 eşitsizliğini kuracağız.
3. (a) Eşitsizliğin Yazılması
Semih Bey’in 200 g et ve x gram tereyağı için:
- Etin kolesterolü:
0{,}65 \times 200 = 130\ \text{mg} - Tereyağının kolesterolü:
2{,}15 \times x = 2{,}15x\ \text{mg}
Toplam kolesterol ifadesi:
130 + 2{,}15x
Bu miktar 320 mg’ı aşmamalıdır. Dolayısıyla kurduğumuz eşitsizlik:
**
130 + 2{,}15x \le 320
**
Bunu sadeleştirirsek:
2{,}15x \le 320 - 130
\quad\Longrightarrow\quad
2{,}15x \le 190
\quad\Longrightarrow\quad
x \le \frac{190}{2{,}15}
\approx 88{,}37
Yani, Semih Bey 200 g et ile en fazla yaklaşık 88,37 g tereyağı tüketebilir.
4. (b) Maksimum Tereyağı Miktarının Bulunması
Bu kez 390 g et ve y gram tereyağı durumu:
- Etin kolesterolü:
0{,}65 \times 390 = 253{,}5\ \text{mg} - Tereyağı kolesterolü:
2{,}15 \times y = 2{,}15y\ \text{mg}
Toplam kolesterol ≤ 320 koşulu:
253{,}5 + 2{,}15y \le 320
Sadeleştirelim:
2{,}15y \le 320 - 253{,}5
\quad\Longrightarrow\quad
2{,}15y \le 66{,}5
\quad\Longrightarrow\quad
y \le \frac{66{,}5}{2{,}15}
\approx 30{,}93
Sonuç: Semih Bey, 390 g et ile birlikte öğünde en fazla yaklaşık 30,93 g tereyağı tüketebilir.
5. Sonuçları Özetleyen Tablo
| Tüketim Bileşeni | Gramaj | 1 g Kolesterol (mg) | Toplam Kolesterol (mg) | Eşitsizlik ve sonuç |
|---|---|---|---|---|
| 200 g et | 200 g | 0,65 | 130 | |
| x gram tereyağı | x g | 2,15 | 2{,}15x | 130 + 2{,}15x \le 320 x \le 88{,}37 g |
| 390 g et | 390 g | 0,65 | 253{,}5 | |
| y gram tereyağı | y g | 2,15 | 2{,}15y | 253{,}5 + 2{,}15y \le 320 y \le 30{,}93 g |
6. Çözümün Özeti ve Değerlendirme
- Eşitsizlik Kurulumu: Her besin için “gram başına kolesterol” çarpanını kullanarak toplam kolesterol ifadesi oluşturduk.
- (a) Durumu: 200 g et + x g tereyağı → 130 + 2{,}15x \le 320 → x ≤ 88,37 g.
- (b) Durumu: 390 g et + y g tereyağı → 253{,}5 + 2{,}15y \le 320 → y ≤ 30,93 g.
Bu sonuçlar, Semih Bey’in günlük kolesterol kısıtlamasını geçmeden et ve tereyağı tüketimini optimize etmesine olanak sağlar.
Sorunun metnine göre çözelim.
Verilenler:
- 100 g tereyağında 215 mg kolesterol ⇒ 1 g tereyağında 2{.}15 mg kolesterol,
- 100 g kırmızı ette 65 mg kolesterol ⇒ 1 g ette 0{.}65 mg kolesterol,
- Öğünde maksimum izin verilen kolesterol: 320 mg.
a) 200 g et ve x g tereyağı için toplam kolesterol:
- Etten: 200\cdot 0{.}65=130 mg,
- Tereyağından: x\cdot 2{.}15=2{.}15x mg.
Kolesterol kısıtlamasını veren eşitsizlik:
130 + 2{.}15x \le 320
(İsterseniz bu eşitsizliği çözerek x için üst sınırı da bulabilirsiniz:)
2{.}15x \le 190 \Rightarrow x \le \frac{190}{2{.}15} \approx 88{.}37\ \text{(gram)}
b) 390 g et ile maksimum tereyağı miktarını bulalım.
Etin kolesterolü: 390\cdot 0{.}65 = 253{.}5 mg.
Eşitsizlik:
253{.}5 + 2{.}15y \le 320
Çözelim:
2{.}15y \le 66{.}5 \Rightarrow y \le \frac{66{.}5}{2{.}15} \approx 30{.}93\ \text{(gram)}
Cevaplar (yaklaşık):
- a) Eşitsizlik: 130 + 2{.}15x \le 320 (veya x \le 88{.}37 g),
- b) Tereyağı miktarının en fazla yaklaşık 30.93 gram olabilir.