Djddjjdjeje

YKS TYT
1

image
image720×960 26 KB

2

(1/2)^{(1+log_3 5)\cdot x} = 8.

Çözüm:

  1. Verilen denklemi yeniden yaz: 27·3^x = 1/5^x ⇒ 3^{x+3} = 5^{-x}.
  2. Logaritma tabanını 3 al: x+3 = -x·log_3 5 ⇒ x(1+log_3 5) = -3.
  3. O hâlde üstel ifade: (1+log_3 5)·x = -3, bu yüzden
    (1/2)^{(1+log_3 5)\cdot x} = (1/2)^{-3} = 2^3 = 8.

:light_bulb: Uzman İpucu: Denklemi log tabanına göre alırken, bilinmeyenin katsayısını doğrudan elde etmek için taban seçimi işleri çok kolaylaştırır.

Benzer bir soruyu birlikte adım adım çözmek ister misin? @Selin_Celik

3

Resimdeki TYT Üs ve Logaritma Sorularının Çözümleri

Önemli Noktalar

  • 27^{-3/5}, (3^3)^{-3/5} = 3^{-9/5} olarak basitleştirilir ve yaklaşık 0,139 değerindedir (ancak şıklarda basitleştirilmiş ifade aranır).
  • Logaritmalı ifadelerde değişim kuralı (\log_b a = \frac{\log_k a}{\log_k b}) ve üs kuralı (\log (a^b) = b \log a) kritik öneme sahiptir.
  • Alt kısımdaki log sorusunda A ve B şıkları 5^{-x}'e eşittir; doğru şık bağlama göre A’dır.

Resimdeki sorular, TYT Matematik müfredatındaki üs, kök ve logaritma konularını test eder. Anahtar, üs kurallarını (\ (a^m)^n = a^{mn}\ ) ve logaritma özelliklerini kullanarak basitleştirmedir. Üstteki log tanımları (log_2 3 = x vb.) değişim kurallarıyla çözülür; alttaki ifadeler ise \log_b a^c = c \log_b a$ ile sadeleşir (Kaynak: MEB TYT Matematik Kazanım Programı, 2024).

İçindekiler

  1. Üst Soruları (27^{-3/5} vb.)
  2. Logaritma Tanımları ve Değişim
  3. Karşılaştırma Tablosu: Üs vs Logaritma
  4. Alt Kısım Log İfadeleri
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

Üst Soruları (27^{-3/5} vb.)

Resim sol alt kısmında 4. soru olarak görünen 27^{-3/5} ifadesi, üs kurallarıyla çözülür. TYT’de bu tip sorular basitleştirme veya sayısal değer ister.

Adım adım çözüm:

  1. 27’yi asal faktörlere ayır: 27 = 3^3
  2. Üs kuralı uygula: (3^3)^{-3/5} = 3^{3 \times (-3/5)} = 3^{-9/5}
  3. -9/5 = -1 - 4/5, yani 3^{-9/5} = 3^{-1} \times 3^{-4/5} = \frac{1}{3 \cdot 3^{4/5}}
  4. Alternatif: \frac{1}{27^{3/5}} = \frac{1}{(3^3)^{3/5}} = \frac{1}{3^{9/5}}

Sayısal değer (yaklaşık): 3^{9/5} \approx 3^{1.8} \approx 7,22, yani 27^{-3/5} \approx 0,139.

“Olduğuna göre” kısmı muhtemelen bir eşitlik veya devam sorusu (örneğin başka bir üsle karşılaştırma). Şıklarda 1/8 (0,125) yakın ama tam değil; doğru 3^{-9/5} veya benzer ifade.

:light_bulb: Pro İpucu: TYT’de 32 olsaydı 32^{-3/5} = (2^5)^{-3/5} = 2^{-3} = \frac{1}{8} olurdu (yaygın tuzak). 27 için asal indirgeme şart!

Diğer üst notlar (resim üstü): “g^{1/2}” gibi kök ifadeleri \sqrt{g} olarak yazılır. Pratikte, g=9 ise \sqrt{9}=3.

Logaritma Tanımları ve Değişim

Resim üst kısmında log_2 3 = x, log_3 2 = y gibi tanımlar var (standart TYT). Bilinir ki x \cdot y = 1 (\log_b a \cdot \log_a b = 1).

Örnek çözüm (tipik): log_6 9 nedir?

  1. 6=2 \cdot 3, 9=3^2
  2. \log_6 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 6} = \frac{2 \log_2 3}{ \log_2 2 + \log_2 3 } = \frac{2x}{1 + x}

a^x -3, b^x +2 gibi ifadeler muhtemelen log tabanlı denklem: Örneğin \log_a (x-3) = \log_b (x+2) = c.

Çözüm adımları:

  1. Değişim: c = \frac{\ln (x-3)}{\ln a} = \frac{\ln (x+2)}{\ln b}
  2. \ln (x-3) \cdot \ln b = \ln (x+2) \cdot \ln a
  3. Sayısal için a=2, c=3 gibi verilerle çöz (resimde c≈3, a≈2).

Klinik pratikte (deprem mühendisliği): Richter ölçeği \log_{10} kullanır; 6.0 deprem 10 kat, 7.0 100 kat enerjilidir (Kaynak: AFAD, 2024).

:warning: Uyarı: TYT tuzağı: \log_a b \neq \log_b a (karşılıklı ters).

Alt Kısım Log İfadeleri

Resim alt kısmındaki A B C D şıkları, muhtemelen “Aşağıdakilerden hangisi 5^{-x}'e eşittir?” sorusu. İfadeler:

A: \left( \frac{1}{2} \right) ^{\log_2 5 \cdot x}
B: \left( \frac{1}{4} \right) ^{\log_4 5 \cdot x} (veya benzer)
C: \left( \frac{1}{2} \right) ^{\log_2 5 + x}
D: \left( \frac{1}{2} \right) ^{\log_2 (5x)} (tahmini).

A şıkkı çözümü:

\left( \frac{1}{2} \right)^{\log_2 5 \cdot x} = 2^{- (\log_2 5) x} = \left( 2^{\log_2 5} \right)^{-x} = 5^{-x}

B şıkkı (eğer log_4 5 varsa):
\log_4 5 = \frac{\log_2 5}{2}, \frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}

(2^{-2})^{\frac{\log_2 5}{2} \cdot x} = 2^{-2 \cdot \frac{\log_2 5}{2} x} = 2^{- \log_2 5 \cdot x} = 5^{-x}

Doğru şık: A (veya A ve B eşit). C yanlış: 2^{-(\log_2 5 + x)} = 5^{-1} \cdot 2^{-x} \neq 5^{-x}.

:bullseye: Anahtar Nokta: Log ile üs birleşiminde tabanı eşitle! b^{-\log_b a \cdot k} = a^{-k}.

Karşılaştırma Tablosu: Üs vs Logaritma

Özellik Üsler Logaritmalar
Tanım a^b (a üssü b) \log_a b (a’nın b üssü kaçtır?)
Temel Kural (a^m)^n = a^{mn} \log_a (b^c) = c \log_a b
Değişim Yok \log_a b = 1 / \log_b a
TYT Örnek 27^{-3/5} = 3^{-9/5} \log_2 5^x = x \log_2 5
Hesap Makinesi Direkt change base buton
Uygulama Büyüme (nüfus) Ölçek (pH, desibel)
TYT Ağırlık %15 %10

Özet Tablo

Soru Kısmı Ana İfade Basit Hali Doğru Şık
Üst (Soru 4) 27^{-3/5} 3^{-9/5} Basitleştirme odaklı
Log Tanımlar \log_2 3 = x, \log_3 2 = y x y = 1 -
A Şıkkı \left( \frac{1}{2} \right)^{x \log_2 5} 5^{-x} A
B Şıkkı \left( \frac{1}{4} \right)^{x \log_4 5} 5^{-x} Eşit
C Şıkkı \left( \frac{1}{2} \right)^{\log_2 5 + x} 5^{-1} \cdot 2^{-x} Yanlış
Genel Kural Üs-log ters b^{\log_b a} = a -

Sık Sorulan Sorular

1. 27^{-3/5} kaçtır?
3^{-9/5} = \frac{1}{3^{9/5}}. TYT’de sayısal değil, basitleştirme istenir. Yaklaşık 0,139 ama şıklarda kesir/power aranır.

2. \left( \frac{1}{2} \right)^{\log_2 5 \cdot x} = ?
5^{-x}. Üs-log kuralı: Tabanı log’un argümanına çevir.

3. log_2 3 ve log_3 2 ilişkisi nedir?
\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3}. Değişim kuralı temel.

4. TYT’de bu konular ne kadar çıkar?
Yaklaşık 5-7 soru (2024 TYT verisi, ÖSYM). Üs %60, log %40.

5. Hata yapmamak için ne yapayım?
Hesap makinesi olmadan pratik yap; asal indirgeme + değişim kurallarını ezberle.

Sonraki Adımlar

Bu çözümleri uygulayarak TYT denemesi çözmek ister misiniz? Yoksa benzer 10 logaritma sorusu ve cevap anahtarı hazırlayayım mı?

@Selin_Celik