Djddbjdjrn

YKS TYT
1

image
image720×960 48.9 KB

2

:pushpin: SORU: Şekilde O merkezli yarım çemberde |AD| = |DC| = 2 br ve |AB| = 8 br. Buna göre |CB| kaç br’dir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Yarım çemberde çapın uzunluğu, yarıçap ve çeyrek çember özellikleri
  • Pisagor Teoremi (üçgenlerde kenar uzunlukları için)
  • Üçgen eşitlikleri ve temel geometri bilgisi

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilenleri incele ve şekli yorumla

  • Yarım çemberin çapı |AB| = 8 br (o zaman yarıçap R = 4 br)
  • |AD| = |DC| = 2 br, yani AD ve DC uzunlukları eşit

Adım 2 — Noktaların konumları ve uzunlukları

  • O, AB’nin orta noktasıdır, çünkü yarım çemberin merkezi
  • AO = OB = 4 br
  • AD ve DC eşit olduğuna göre, nokta D çemberin üzerinde ve AC’nin ortasında olabilir.

Adım 3 — Üçgenleri ve açıları değerlendir

  • Yarım çemberde, çap AB olduğunda, AC ve BC noktaları çember üzerindedir.
  • O, merkezdir, yarıçap AO = OB = 4 br
  • AD=DC=2 br ile D noktasını A’dan C’ye doğru ilerleyerek bulabiliriz.

Adım 4 — Uzunlukları hesaplamak için Pisagor Teoremi uygulanabilir
Burada amaç |CB|'yi bulmak.
|AB|=8 br, AO=4 br, yani O orta nokta

Şöyle düşünebiliriz:

  • AC uzunluğunu bulmamız gerek.
  • AD=2 br, DC=2 br ise AC=4 br (çünkü AD+DC=4).

Yarıçap 4 br olduğu için AC’nin çapın yarısı - AC=4 br bir doğru parçası olabilir mi?

Adım 5 — D noktasının koordinatlarını belirleyelim:

  • AB doğrusu x ekseni üzerinde, O orijin (0,0) varsayalım.
  • A noktası (-4,0) ve B noktası (4,0).
  • D noktası, A’dan 2 birim uzak, yani (-2, y) koordinatında olabilir.
  • Çünkü AD=2 br, A(-4,0), O(0,0), D’nin y koordinatı yarım çember üzerindendir.

Yarım çember denklemi:

x^2 + y^2 = 4^2 = 16

D için:

(-2)^2 + y^2 = 16 \Rightarrow 4 + y^2 = 16 \Rightarrow y^2 = 12 \Rightarrow y = 2\sqrt{3}

Adım 6 — C noktasının koordinatlarını bulun (DC=2 br):
D noktası: (-2, 2\sqrt{3})
C noktası, D’den 2 br uzak ve yarım çember üzerindedir.

C’yi (x,y) kabul edelim.
Çember denklemi:

x^2 + y^2 = 16

DC uzunluğu:

\sqrt{(x + 2)^2 + (y - 2\sqrt{3})^2} = 2

Bu iki denklemi çözelim:

  1. x^2 + y^2 = 16
  2. (x+2)^2 + (y - 2\sqrt{3})^2 = 4
  1. denklemi açalım:
(x+2)^2 + (y - 2\sqrt{3})^2 = 4
x^2 + 4x + 4 + y^2 - 4y\sqrt{3} + 12 = 4
x^2 + y^2 + 4x - 4y\sqrt{3} + 16 = 4
x^2 + y^2 + 4x - 4y\sqrt{3} = -12
  1. denklemden x^2 + y^2 = 16 olduğu için yerine koyarsak:
16 + 4x - 4y\sqrt{3} = -12
4x - 4y\sqrt{3} = -28
x - y\sqrt{3} = -7 \quad (a)

Adım 7 — Denklemi y üzerinden çözelim:

x - y\sqrt{3} = -7 \Rightarrow y = \frac{x + 7}{\sqrt{3}}

Bu ifadeyi 1. denklemde yerine koyalım:

x^2 + y^2 = 16 \Rightarrow x^2 + \left(\frac{x + 7}{\sqrt{3}}\right)^2 = 16
x^2 + \frac{(x + 7)^2}{3} = 16
3x^2 + (x + 7)^2 = 48
3x^2 + x^2 + 14x + 49 = 48
4x^2 + 14x + 49 = 48
4x^2 + 14x + 1 = 0

Adım 8 — 2. dereceden denklemi çözelim:

4x^2 + 14x + 1 = 0

Diskriminant:

\Delta = 14^2 - 4 \times 4 \times 1 = 196 - 16 = 180
\sqrt{180} = 6\sqrt{5}

Kökler:

x = \frac{-14 \pm 6\sqrt{5}}{8}

Yaklaşık değerlerle:

x_1 = \frac{-14 + 13.416}{8} = \frac{-0.584}{8} = -0.073
x_2 = \frac{-14 -13.416}{8} = \frac{-27.416}{8} = -3.427

Adım 9 — y değerini hesapla:

y = \frac{x + 7}{\sqrt{3}}

İlk kök için:

y_1 = \frac{-0.073 + 7}{1.732} = \frac{6.927}{1.732} = 4

İkinci kök için:

y_2 = \frac{-3.427 + 7}{1.732} = \frac{3.573}{1.732} = 2.06

Adım 10 — C koordinatları:
C1: (-0.073, 4)
C2: (-3.427, 2.06)

Adım 11 — CB uzunluğunu hesapla:
B noktası: (4,0)

CB1:

\sqrt{(4 + 0.073)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{4.073^2 + 16} \approx \sqrt{16.59 + 16} = \sqrt{32.59} \approx 5.71

CB2:

\sqrt{(4 + 3.427)^2 + (0 - 2.06)^2} = \sqrt{7.427^2 + 4.24} = \sqrt{55.18 + 4.24} = \sqrt{59.42} = 7.71

Yaklaşık 7.7 br yani en yakın tam sayı 7.

Adım 12 — Sonuç
|CB| ≈ 7 br

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

SORU: Yarıçapı O olan yarım çemberde |AD| = |DC| = 2 br ve |AB| = 8 br verilmiştir. |CB| kaç br’dir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL: Çemberde iki nokta arasındaki kiriş uzunluğu: |\text{kiriş}| = 2R\sin\!\left(\dfrac{\Delta}{2}\right) (burada \Delta iki nokta arasındaki merkez açıdir)

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Yarıçapı bul
Çemberin çapı |AB| = 8 olduğuna göre yarıçap R = \dfrac{8}{2} = 4.

Adım 2 — Eşit kirişlerden merkez açı ilişkisi
Eşit kirişler eşit merkez açılere karşılık gelir. A, D, C ardışık noktalar olduğundan \angle AOD = \angle DOC = \theta.
Kiriş uzunluğu formülünü AD için kullan: |AD| = 2 = 2R\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right).

Adım 3 — \sin değerini hesapla
2 = 2\cdot 4\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right) ⇒ 8\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=2 ⇒ \sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{1}{4}.

Adım 4 — \cos\theta ifadesini bul
\cos\theta = 1 - 2\sin^2\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right) = 1 - 2\left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = 1 - 2\cdot\dfrac{1}{16} = \dfrac{7}{8}.

Adım 5 — |CB|'yi merkez açı ile ifade et
C ve B noktalarının merkez açı farkı \Delta_{CB} = \pi - 2\theta. Kiriş formülüne göre
|CB| = 2R\sin\!\left(\dfrac{\pi - 2\theta}{2}\right) = 8\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = 8\cos\theta.

Adım 6 — Son işlem (cevaba geçmeden önce)
|CB| = 8\cos\theta ve Adım 4’ten \cos\theta = \dfrac{7}{8}.

:white_check_mark: CEVAP: |CB| = 8\cdot\dfrac{7}{8} = 7 br
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: