Soru:
li
m_{x o 0} rac{ sin \sqrt{x}}{ tan x
limitinin değeri kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D)
2
\sqrt{2}
E)
3
\sqrt{3}
Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]
Limx→0 \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{\tan x}} limitinin değeri kaçtır?
Kullanılan Temel Limitler ve Yaklaşımlar:
- \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1
- \lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t} = 1
- Küçük açı yaklaşımı: \sin t \approx t, \tan t \approx t
Çözüm Adımları:
Adım 1 — İfade İçinde Yer Alan Fonksiyonları İnceleme
\lim_{x \to 0} \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{\tan x}}
Burada x sıfıra yaklaşırken, \sqrt{x} ve \tan x da sıfıra yaklaşır.
Adım 2 — Paydaki ve Paydadaki Küçük Açılar için Limit Yaklaşımı
- \sin \sqrt{x} \approx \sqrt{x} çünkü t \to 0 iken \sin t \sim t
- \tan x \approx x çünkü x \to 0
Böylece payda:
\sqrt{\tan x} \approx \sqrt{x}
Adım 3 — İfadenin Yaklaşımı
Yaklaşıma göre:
\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{\tan x}} \approx \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 1
Adım 4 — Limit Sonucu
Dolayısıyla,
\lim_{x \to 0} \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{\tan x}} = 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: B) 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
- Küçük Açılar Yaklaşımı: Sinüs ve tanjant fonksiyonlarının limit durumları için basitleştirme yapar.
- Limit İşlemi: Fonksiyonların sıfıra yaklaşırkenki değerleri incelenir.
Yaygın Hata:
Fonksiyonları doğrudan sıfıra atmak.
- Yanlış: \sin \sqrt{0} = 0, \sqrt{\tan 0} = 0 olduğundan, doğrudan 0/0 belirsizliği görünür.
- Doğru: Küçük açılar için limit tanımları kullanılarak belirsizlik çözülmeli.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{\tan x}} limitinin değeri kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Küçük açı yaklaşıkları: \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1 ve \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u}=1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişken dönüşümü
t=\sqrt{x},\quad x=t^2,\quad x\to 0\Rightarrow t\to 0^+
\lim_{x\to 0}\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{\tan x}}
=\lim_{t\to 0^+}\frac{\sin t}{\sqrt{\tan(t^2)}}
Adım 2 — İfadeyi iki çarpana ayır ve her birini değerlendir
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{\sqrt{\tan(t^2)}}
= \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{t}{\sqrt{\tan(t^2)}}
Birinci terim:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}
=1
İkinci terim:
\lim_{t\to 0}\frac{t}{\sqrt{\tan(t^2)}}
= \lim_{t\to 0}\frac{t}{t\sqrt{\dfrac{\tan(t^2)}{t^2}}}
= \lim_{t\to 0}\frac{1}{\sqrt{\dfrac{\tan(t^2)}{t^2}}}
\text{ve çünkü }\lim_{t\to 0}\frac{\tan(t^2)}{t^2}=1
\Rightarrow \lim_{t\to 0}\frac{1}{\sqrt{\dfrac{\tan(t^2)}{t^2}}}=1
Adım 3 — Sonucu birleştir
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{t}{\sqrt{\tan(t^2)}}
=1\cdot 1
=1
CEVAP: 1
TEMEL KAVRAMLAR:
- Küçük açılarda sin ve tan davranışı
- Tanım: \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1, \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u}=1
- Bu problemde: \sin t ve \tan(t^2) için bu limitler kullanıldı.
- Değişken dönüşümü (substitution)
- Tanım: Karmaşık ifadelerde uygun değişkenleştirme sınırı kolaylaştırır.
- Bu problemde: t=\sqrt{x} dönüşümü işlemi sadeleştirdi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hata: Paydada \sqrt{\tan x} yerine yanlışlıkla \tan(\sqrt{x}) almak.
- Yanlış: \tan(\sqrt{x}) kullanmak
- Doğru: Orijinal ifade \sqrt{\tan x} şeklindedir.
- Neden yanlış: \tan(\sqrt{x}) ve \tan(x) küçük x davranışları farklı ölçeklerdedır.
- Düzeltme: Önce t=\sqrt{x} yaparak doğru ölçeği kullanın.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?