$\displaystyle \frac{\cos^2a - 1}{\sin^2a}$ ifadesinin sonucu nedir?

YKS TYT
1

Screenshot_20260130-121635
Screenshot_20260130-1216351280×800 37.6 KB

2

cos²a - 1 / sin²a İfadesinin Sonucu Nedir?

Önemli Noktalar

  • İfade: \frac{\cos^2 a - 1}{\sin^2 a}
  • Trigonometrik kimlikler kullanılarak sadeleştirilebilir
  • \cos^2 a - 1 = -\sin^2 a olduğundan ifade basitleşir
  • Sonuç -1 olarak bulunur
\frac{\cos^2 a - 1}{\sin^2 a} = \frac{-\sin^2 a}{\sin^2 a} = -1

İçindekiler

  1. İfadenin Sadeleştirilmesi
  2. Trigonometrik Kimlikler
  3. Karşılaştırma Tablosu: Yanıt Seçenekleri
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

İfadenin Sadeleştirilmesi

İfade:

\frac{\cos^2 a - 1}{\sin^2 a}

Bilinen trigonometrik kimliklerden:

\cos^2 a + \sin^2 a = 1 \Rightarrow \cos^2 a - 1 = -\sin^2 a

Buna göre:

\frac{\cos^2 a - 1}{\sin^2 a} = \frac{-\sin^2 a}{\sin^2 a} = -1

Yani ifadenin sonucu -1’dir.

:light_bulb: Pro Tip: Trigonometrik ifadelerde \cos^2 a + \sin^2 a = 1 kimliği sık kullanılır, karmaşık görünümlü ifadeleri sadeleştirirken ilk düşünmeniz gereken formüldür.

Trigonometrik Kimlikler

Kimlik Açıklama Örnek Kullanım
\sin^2 a + \cos^2 a = 1 Temel trigonometrik özdeşlik \cos^2 a - 1 = -\sin^2 a
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} Tanjant tanımı —
\sec a = \frac{1}{\cos a} Sekant tanımı —

Bu soruda sadece temel kimlik kullanılmıştır.

Karşılaştırma Tablosu: Yanıt Seçenekleri

Seçenek Değer Doğruluk
A) -sin a -\sin a Yanlış
B) cos a \cos a Yanlış
C) \frac{1}{2} 0.5 Yanlış
D) 0 0 Yanlış
E) -1 -1 Doğru

Özet Tablo

Öğede İçerik
İfade \frac{\cos^2 a - 1}{\sin^2 a}
Kullanılan Kimlik \cos^2 a + \sin^2 a = 1
Sonuç -1

Sık Sorulan Sorular

1. Bu tür trigonometrik kimlikler nasıl öğrenilir?
Temel olarak \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ve diğer temel kimlikler defalarca soru çözerek kalıcı olur.

2. Eğer payda sıfır olursa ne olur?
\sin a = 0 ise ifade tanımsız olur, çünkü sıfıra bölme yapılamaz.

3. Sadeleştirmede başka yöntem var mı?
Evet, açılım, temel kimlik ve alternatif trigonometrik dönüşümlerle de yapılabilir.

Sonraki Adımlar

Benzer trigonometrik ifadelerin çözümlerini ve dönüşümlerini öğrenmek ister misiniz? Ya da farklı trigonometrik kimliklerin uygulamalarını görmek ister misiniz?

@Meral_Bektas

3

\displaystyle \frac{\cos^2a - 1}{\sin^2a} ifadesinin sonucu nedir?

Temel Noktalar

  • Pythagor kimliği: \cos^2a + \sin^2a = 1
  • Dönüşüm adımı: \cos^2a - 1 = -\,\sin^2a
  • Bölme işlemi: $\sin^2a$’nın kendisiyle bölünmesi sonucu 1 verir

Bu ifadenin değeri –1’dir.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Karşılaştırmalı Kimlik Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Adımları

  1. Pythagor kimliğini kullanın:
    \cos^2a + \sin^2a = 1 \quad\Longrightarrow\quad \cos^2a = 1 - \sin^2a.
  2. İfadeyi dönüştürün:
    \cos^2a - 1 = (1 - \sin^2a) - 1 = -\,\sin^2a.
  3. Bölme işlemini yapın:
    \frac{\cos^2a - 1}{\sin^2a} = \frac{-\,\sin^2a}{\sin^2a} = -1.

Karşılaştırmalı Kimlik Tablosu

Kimlik Açıklama
\cos^2a + \sin^2a = 1 Temel Pythagor kimliği
\displaystyle \frac{\cos^2a - 1}{\sin^2a} = -1 Uygulanan dönüşüm sonucu

Özet Tablosu

Adım İşlem Sonuç
1 \cos^2a = 1 - \sin^2a –
2 \cos^2a - 1 = -\,\sin^2a –
3 \frac{-\,\sin^2a}{\sin^2a} = -1 –1

SSS

  1. \sin^2a + \cos^2a nedir?
    Temel Pythagor kimliğine göre $1$’dir.
  2. \displaystyle \frac{1 - \cos^2a}{\sin^2a} ifadesi nedir?
    1 - \cos^2a = \sin^2a olduğundan sonuç $1$’dir.
  3. \tan^2a + 1 ifadesinin değeri?
    \tan^2a + 1 = \sec^2a (sekant kimliği).
  4. Bu kimlik nerelerde kullanılır?
    Trigonometrik dönüşümler, integral ve diferansiyel hesaplamada sıkça başvurulur.

Başka trigonometrik kimlikler veya pratik sorularla pekiştirme ister misiniz, @Meral_Bektas?