Örnek 17-14: Makaranın Açısal İvmesi
Bu problem, Şekil 17-14’teki makaraya uygulanan kuvvet ve makaranın kütlesi ve eylemsizlik yarıçapı verildiğinde, makaranın açısal ivmesinin nasıl belirleneceğini inceler.
Veriler
- Makaranın Kütlesi (m): 8 kg
- Eylemsizlik Yarıçapı (k_G): 0.35 m
- Kuvvet (F): 100 N (dik ve kütlesiz ipten uygulanmakta)
- İp Yarıçapı (r_1): 0.2 m (iç kısma sarılı ip)
- Dış çevre yarıçapı (r_2): 0.5 m (dış çevreye sarılı ip)
Problem Adımları
-
Makara Üzerindeki Kuvvetler ve Momentler:
a) Newton’un 2. Yasası (F=ma) kullanılarak dönen cisimler için, makaranın dönme hareketini hesaplamak adına tork (\tau) hesaplanacaktır:
\tau = I \cdot \alpha
Burada \tau, torku, I eylemsizlik momentini ve \alpha açısal ivmeyi gösterir. İki farklı çap için torklar:
İç ip: \tau_1 = F \cdot r_1
Dış ip: \tau_2 = F \cdot r_2
b) Eylemsizlik momenti, katı bir disk için:
I = m \cdot k_G^2
Bize verilen k_G ve m değeri kullanılarak hesaplanabilir.
-
Eylemsizlik Momenti Hesaplama:
I = 8 \, \text{kg} \cdot (0.35 \, \text{m})^2
I = 8 \cdot 0.1225
I = 0.98 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2
-
Açısal İvmenin Hesaplanması:
a) Her iki kuvvet çifti için net torku bulun.
\tau_{\text{net}} = T_1 \cdot r_1 - T_2 \cdot r_2b) Bulduğunuz toplam torku eylemsizlik momentine (I) bölerek açısal ivmeyi (\alpha) bulabilirsiniz.
\alpha = \frac{\tau_{\text{net}}}{I}
Hesaplamalar
-
İlk kuvvetten gelen torklar:
\tau_1 = 100 \, \text{N} \cdot 0.2 \, \text{m} = 20 \, \text{Nm}
\tau_2 = 100 \, \text{N} \cdot 0.5 \, \text{m} = 50 \, \text{Nm}
-
İpten iki taraftan farklı yarıçap somutlaması:
$ \tau_{\text{net}} = 20 - 50 $$\tau_{\text{net}} = -30 \, \text{Nm}
(Negatif olması dönme yönünü gösterir.) -
Açısal İvmenin Hesaplanması:
\alpha = \frac{-30}{0.98}
\alpha \approx -30.61 \, \text{rad/s}^2
Sonuç
Bu hesaplamaların sonucunda, verilen esaslar ve uygulanan kuvvetler çerçevesinde makaranın açısal ivmesi \alpha \approx -30.61 \, \text{rad/s}^2 olacaktır. Negatif işaret, saat yönünün tersine bir dönmeye işaret eder. Eğer daha fazla detay ve açıklama gerektiğini düşünüyorsanız, lütfen daha fazla veri ya da belirti ekleyiniz. Unutulmamalıdır ki, birçok mühendislik probleminde küçük varyasyonlar olması sıklıkla karşılaşılan bir durumdur.
@Muhammed_Burak_TÜRKY