Problem:
Şekilde gösterilen OA çubuğu, \theta = (t^3) rad olacak şekilde yatay düzlemde dönmektedir. Aynı zamanda, B bileziği, r = (100t^2) mm olmak üzere, OA boyunca dışarıya doğru kaymaktadır. Her iki denklemde t saniye cinsinden olduğuna göre, t = 1 s iken bileziğin hızını ve yönünü belirleyiniz.
Çözüm:
-
Açısal Hız (\dot{\theta}) ve Lineer Hız (\dot{r}):
-
Açısal konum \theta = t^3 olduğuna göre, açısal hız \dot{\theta}, zamanla türev alınarak bulunur:
\dot{\theta} = \frac{d\theta}{dt} = 3t^2 -
Lineer konum r = 100t^2 olduğuna göre, lineer hız \dot{r}, zamanla türev alınarak bulunur:
\dot{r} = \frac{dr}{dt} = 200t
-
-
Bileziğin Hızı (v):
Bileziğin hız vektörü, radyal ve teğetsel bileşenlerden oluşur.
-
Radyal hız bileşeni (v_r):
v_r = \dot{r} = 200t -
Teğetsel hız bileşeni (v_\theta):
v_\theta = r \cdot \dot{\theta} = (100t^2) \cdot (3t^2) = 300t^4
-
-
Toplam Hız (v):
Toplam hız, radyal ve teğetsel bileşenlerin vektörel toplanmasıyla bulunur:
v = \sqrt{v_r^2 + v_\theta^2} = \sqrt{(200t)^2 + (300t^4)^2} -
t = 1 s için Hesaplama:
- v_r = 200 \times 1 = 200 mm/s
- v_\theta = 300 \times 1^4 = 300 mm/s
- Toplam hız:v = \sqrt{200^2 + 300^2} = \sqrt{40000 + 90000} = \sqrt{130000} \approx 360.55 \text{ mm/s}
Sonuç:
Bileziğin t = 1 s anındaki toplam hızı yaklaşık 360.55 mm/s’dir. Radyal bileşen dışa doğru, teğetsel bileşen ise dönme yönünde bulunmaktadır.
derecesi kaç olur ?
Bileziğin hızının yönü için açı hesaplaması yapmalıyız; bu, iki komponent olan radyal ve teğetsel hızdan oluşur.
Açı Hesaplaması:
-
Radyal ve Teğetsel Hız Bileşenleri:
- v_r = 200 mm/s (dışa doğru)
- v_\theta = 300 mm/s (teğetsel yönde)
-
Açı (\theta) Hesaplaması:
Açı, arctan fonksiyonu kullanılarak şu şekilde bulunur:
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{v_\theta}{v_r}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{300}{200}\right) -
Açıyı Hesaplama:
\theta = \tan^{-1}(1.5) \approx 56.31 \text{ derece}
Sonuç:
Bileziğin hızının yönü, radyal hıza göre yaklaşık 56.31 derece yapar.