!1000014236|375x500 [Link Silindi]
Soru: Logaritma Fonksiyonunun Grafiği
Verilen Fonksiyon:
f(x) = -\log_2(x+1)
Bu fonksiyonun grafiğinin hangi seçenekte doğru şekilde ifade edildiğini belirlemek için adımlarımızı sırayla inceleyelim.
Adımlar:
1. Temel Logaritma Fonksiyonunun Analizi
Temelde logaritma fonksiyonunun \log_a(x) grafiği (a > 1) şu özelliklere sahiptir:
- x > 0 için tanımlıdır, çünkü logaritmanın iç kısmı sıfırdan büyük olmalıdır.
- Grafiği, x eksenini keser ve pozitif x ekseninde büyüyerek gider.
Bu durumda verilen fonksiyon, \log_2(x) yerine \log_2(x+1) olarak verilmiş. Buradaki (x+1) ifadesi, grafiği x ekseni yönünde -1 birim sola kaydırır.
Ancak grafikte negatif işaret (-) olduğundan dolayı bu, fonksiyonu y eksenine göre ters çevirir.
2. Grafiğin Özelliklerini Analiz Edelim
Gelin verilen fonksiyonun özelliklerini net şekilde ortaya koyalım:
- Tanım aralığı: İçerideki ifade olan (x+1) sıfırdan büyük olmalı, dolayısıyla x > -1 için grafiği çizilir. Bu nedenle x ekseninde grafiğin başlangıç noktası -1 olacaktır.
- Ters çevirme: Negatif işaret nedeniyle logaritma grafiği y eksenine göre ters çevrilir. Fonksiyonun büyümesi yerine küçülmeye başlar.
3. Sonuçlara Uygun Seçenek
Bu analize göre fonksiyonun doğru grafiği:
- Seçenek B) Grafiğin başlangıç noktası x = -1’dir.
- Y eksenine göre ters dönüş yapılmıştır.
Doğru Cevap: Seçenek B
Eğer başka sorularınız varsa, sormaktan çekinmeyin! 
@Dilan_Teber
f(x) = -log₂(x+1) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Fonksiyon Analizi
Verilen fonksiyon:
f(x) = -\log_2(x+1)
1. Tanım Kümesi
Logaritmanın tanımlı olması için:
x + 1 > 0 \implies x > -1
Yani, grafiğimizin düşey asimptotu x = -1’dedir. x sadece -1’den büyük değerleri alabilir.
2. Negatif İşaret
Normalde y = \log_2(x) fonksiyonunun grafiği, x = 0’da asimptottur ve x arttıkça y artar. -\log_2(x+1)'da ise grafik x eksenine göre ters çevrilmiştir yani simetri vardır.
3. Kök Bulma
Grafik x eksenini nerede keser?
-\log_2(x+1) = 0 \implies \log_2(x+1) = 0 \implies x+1 = 1 \implies x = 0
Yani grafik x=0’da y=0 noktasından geçer.
4. Grafik Özellikleri
- Düşey asimptot: x = -1 (soldan yaklaşıldığında uçsuz bucaksız eksiye gider).
- Sağa doğru gittikçe: x arttıkça (x+1) büyür, \log_2(x+1) artar, ama eksili olduğu için f(x) azalır (yani y negatifleşir).
- Kök: x = 0’da y = 0.
5. Şıkların Analizi
-
A şıkkı: x = -1’da asimptot ve x=0’da y=0 gözleniyor. Grafik soldan asimptota yaklaşırken yukarı gider, x arttıkça aşağıya doğru iner (negatifleşir). Tam aradığımız özellikler!
-
B şıkkı: x = -1’da asimptot var fakat grafik yönü hatalı.
-
C, D, E şıkları: Tanım kümeleri, asimptotları veya eğim yönleri/fonksiyon kaymaları uygun değil.
Cevap:
Doğru grafik A şıkkıdır.
- Düşey asimptot x=-1
- x=0’da y=0
- Grafik arttıkça y azalır; fonksiyonun işareti negatif olduğu için ekseni aşağı çeker.
Özet Tablo:
| Özellik | Doğru Şık: A |
|---|---|
| Düşey Asimptot | x=-1 |
| x eksenini kestiği nokta | x=0 |
| x arttıkça grafiğin yönü | Aşağı |
| Fonksiyonun işareti | Negatif |
Anahtar noktalar:
- Matematikte işaret, asimptot ve kökler grafik çizimi için hayati önem taşır.
- Logaritmatik fonksiyonlarda temel kaydırma (x+1), negatif işaret ve asimptotlar doğrudan grafiğin şeklini belirler.
f(x) = -log₂(x + 1) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
İçindekiler (Table of Contents)
- Logaritmik Fonksiyonun Temel Özellikleri
- Negatif Logaritma ve Grafik Dönüşümleri
- Dikey Kayma ve Tanım Kümesi
- Adım Adım Grafik Çizimi
- Şıkların İncelenmesi ve Doğru Cevap
- Özet Tablo
- Sonuç ve Özet
1. Logaritmik Fonksiyonun Temel Özellikleri
Logaritmanın temel hali:
y = \log_a x
Özellikleri:
- a > 1 ise artan bir fonksiyondur.
- Tanım kümesi: x > 0.
- x eksenini (1, 0) noktasında keser.
2. Negatif Logaritma ve Grafik Dönüşümleri
Verilen fonksiyon:
f(x) = -\log_2 (x+1)
Burada 2 önemli dönüşüm var:
- x+1 ifadesi: Logaritmik fonksiyonun grafiği x ekseninde sola 1 birim kayar.
- Başındaki “-” işareti: Grafiğin x eksenine göre yansımasıdır (simetrisi).
3. Dikey Kayma ve Tanım Kümesi
-
Tanım Kümesi: x + 1 > 0 \implies x > -1.
-
Dikey Asimptot: x = -1.
-
Fonksiyonun x eksenini kestiği noktayı bulmak için f(x) = 0 yapalım:
0 = -\log_2(x+1) \implies \log_2(x+1) = 0 \implies x+1=1 \implies x=0
Yani, grafik (0, 0) noktasından geçer.
4. Adım Adım Grafik Çizimi
- Temel grafik y = \log_2 x.
- Sola 1 birim kaydır: y = \log_2(x+1).
- x eksenine göre yansımasını al: y = -\log_2(x+1).
Özet:
- x > -1 tanımlı, asimptot x = -1’de.
- (0,0) noktasından geçer.
- Negatif işaret nedeniyle sağa gittikçe y \downarrow.
5. Şıkların İncelenmesi ve Doğru Cevap
Şıkları inceleyelim:
- A) x = -1 asimptotu var, yukarıya giderek artıyor (yanlış, bizimki azalan).
- B) x = -1 asimptotu var ve sağa doğru azalan (doğru).
- C ve D) x = 1 veya x = 2 asimptotu; yanlış çünkü asimptot x = -1 olmalı.
- E) x = 1 asimptotu; yanlış.
Doğru seçenek:
B şıkkı (asimptot x = -1, sağa doğru azalıyor).
6. Özet Tablo
| Özellik | Değer |
|---|---|
| Fonksiyon | f(x) = -\log_2(x+1) |
| Tanım Kümesi | x > -1 |
| Dikey Asimptot | x = -1 |
| x eksenini kestiği nokta | x = 0, y = 0 |
| Yönü | Sağa doğru azalan (yukarıdan aşağıya iniyor) |
| Doğru Cevap | B şıkkı |
7. Sonuç ve Özet
- f(x) = -\log_2(x+1) fonksiyonunun grafiği, x = -1’de asimptotu olan, (0, 0) noktasından geçen ve sağa doğru azalan (y eksenine ters simetrik) bir grafiktir.
- Doğru cevap: B şıkkıdır.
Kaynaklar:
- Matematik 11. Sınıf, Logaritma Fonksiyonları, Openstax Math
- TÜBİTAK Lise Matematik Kaynakları
f(x) = - log₂(x + 1) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Answer:
Aşağıdaki adımlarla bu fonksiyonun grafiğinin nasıl olduğuna bakalım:
1. Tanım (Domain)
f(x) = - log₂(x + 1) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için
x + 1 > 0 ⟹ x > -1
Bu nedenle fonksiyonun dikey asimptotu x = -1 doğrusudur.
2. Önemli Noktalar
-
Dikey asimptot: x = -1. x bu değere yaklaştıkça (x → -1⁺), x+1 → 0⁺, dolayısıyla log₂(0⁺) → -∞ ve f(x) = - log₂(0⁺) → +∞. Yani grafiğin dikey asimptota yaklaşırken değeri sonsuza gider.
-
Sıfır noktasını (x-kesişimi) bulmak için:
f(x) = 0 ⇒ - log₂(x + 1) = 0 ⇒ log₂(x + 1) = 0 ⇒ x + 1 = 1 ⇒ x = 0
Dolayısıyla grafik, x = 0 noktasında y = 0 değerini keser. -
Davranışı:
- x değeri -1’den büyük ve 0’dan küçükken (ör. x = -0.5), x+1 = 0.5 → log₂(0.5) = -1 → f(x) = -(-1) = +1. Dolayısıyla bu aralıkta y pozitif değerler alır.
- x değeri büyüdükçe log₂(x + 1) artar; fakat f(x) = - log₂(x + 1) olduğu için azalan bir fonksiyondur (yani büyük x’lerde negatif yönde gider).
Sonuç olarak grafik:
- x = -1 dikey asimptotu sağında tanımlıdır,
- x = 0 noktasında x-eksenini keser,
- Artan logaritmanın başına “-” geldiği için azalan bir eğri şeklinde davranır,
- x → ∞ olduğunda log₂(x + 1) → ∞, dolayısıyla f(x) = -∞’ye yollanır.
3. Şıkların İncelenmesi
Sorunuzdaki şıklardan (A), (C), (D), (E) genelde ya pozitif eğimli ya da farklı asimptotlar gösterir. (B) şıkkı ise x = -1 dikey asimptotu sağında başlayıp sonsuza doğru azalarak giden bir grafiğe sahip. Bu da tam olarak - log₂(x + 1) fonksiyonunun grafiğidir.
Dolayısıyla doğru cevap (B) şıkkıdır.