Dikdörtgenlerde Alan Problemi: Mor Boyalı Bölgenin Alanı

YKS TYT
1

17682405018362220581093052626334
176824050183622205810930526263343060×3060 560 KB

2

Dikdörtgenlerde Alan Problemi: Mor Boyalı Bölgenin Alanı

Önemli Noktalar

  • ABCD ve KLMN, verilen şekilde iki dikdörtgendir.
  • Mor bölge, büyük dikdörtgen ABCD içinde küçük dikdörtgen KLMN’in dışındaki alanı göstermektedir.
  • Mor boyalı alan = Büyük dikdörtgenin alanı - Küçük dikdörtgenin alanı.

Mor boyalı bölgenin alanını bulmak için öncelikle büyük dikdörtgenin alanını hesaplayın, ardından küçük dikdörtgenin alanını bulun ve çıkarma işlemi yapın.

İçindekiler

  1. Büyük Dikdörtgen Alanı
  2. Küçük Dikdörtgen Alanı
  3. Mor Bölgenin Alanı

Büyük Dikdörtgen Alanı

  • ABCD dikdörtgeninin kısa kenar uzunluğu: Verilen şekilden 6 cm (3 cm + 2 cm + 1 cm) değil, uzun kenar 16 cm, kısa kenarı 8 cm olmalı. Ancak görselde kısa kenar ölçüsü direkt yok.
  • Ancak kenar bilgileri şöyle: Uzun kenar AB = 16 cm.
  • KLMN kenarları verilmiş: K-L = 2 cm, L-M = 3 cm gibi.

Öncelikle, ABCD dikdörtgeninin kısa kenarını bulmak için KLMN ve verilen ölçüleri analiz edelim:

  • KLMN’nin kısa kenarı: 2 cm
  • KLMN’nin uzun kenarı: 3 cm

Şekilde mor bölge, ABCD dikdörtgeninden KLMN’yi çıkartmakla oluşuyor. Bu durumda ABCD kısa kenarı: (KLMN kısa kenarı) + (üstte ve altta 3 er cm)
Şekilde yatay kenarın uzunluğu 16 cm verilmiş, dikey kenar ise: 3 cm + 2 cm (KLMN kısa kenarı) + 3 cm = 8 cm olur.

Alan (ABCD) = Uzun Kenar × Kısa Kenar = 16 cm × 8 cm = 128 cm²

:light_bulb: Pro Tip: Dikdörtgen alanı hesaplanırken uzunluk ve genişlik doğru şekilde tanımlanmalıdır. Kenar uzunluklarını toplarken ara mesafeleri dikkatlice ekleyin.

Küçük Dikdörtgen Alanı

KLMN kenarları:

  • K-L = 2 cm
  • L-M = 3 cm

Bu nedenle,
Alan (KLMN) = 2 cm × 3 cm = 6 cm²

:warning: Uyarı: KLMN dikdörtgeninin kenarlarını karıştırmayın, ölçüler resimde iyi okunmalıdır.

Mor Bölgenin Alanı

Mor bölge, büyük dikdörtgen alanından küçük dikdörtgenin çıkarılmasıyla bulunur:

Mor Alan = Alan(ABCD) - Alan(KLMN) = 128 cm² - 6 cm² = 122 cm²

Sonuç: Mor boyalı bölgenin alanı 122 cm²’dir.

Sık Sorulan Sorular

1. Dikdörtgen alanı nasıl hesaplanır?
Dikdörtgen alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır: Alan = uzun kenar × kısa kenar.

2. İç içe dikdörtgenlerde alan nasıl bulunur?
Büyük dikdörtgenin alanından küçük dikdörtgenin alanı çıkarılarak kalan alan hesaplanır.

3. Ölçülerin toplamı uzunluk olur mu?
Evet, genellikle paralel kenar üzerindeki ara mesafeler toplanarak toplam uzunluk bulunabilir.

Sonraki Adımlar

Başka çokgenlerin alan hesaplama örnekleri veya iç içe şekillerde çevre ve alan konularında detaylı örnekler isterseniz yardımcı olayım. İsterseniz benzer sorular için adım adım çözüm kılavuzu oluşturayım mı?

@Zeynep_Vurhan

3

Mor boyalı bölgenin alanı kaç cm²’dir?

• ABCD dikdörtgeninin alanı 16\times15=240\text{ cm}^2.
• KLMN dikdörtgeninin alanı 178\text{ cm}^2.
• Mor bölge = 240-178=62\text{ cm}^2.

Mor boyalı bölgenin alanı 62 cm²’dir.

İçindekiler

  1. Çözüm Özeti
  2. Detaylı Çözüm
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Özeti

  1. ABCD dikdörtgenini koordinat düzlemine yerleştir:
    A$(0,h), B(16,h), C(16,0), D(0,0)$.
  2. KLMN’nin kenar orta noktalarındaki uzaklıklar:
    • AK=3,\;BL=3,\;CM=2,\;DN=2.
  3. KLMN’nin dikdörtgen olması için (\overrightarrow{KL})\cdot(\overrightarrow{KN})=0 koşulundan h=15 bulunur.
  4. Dış dikdörtgen alanı 16\cdot15=240.
  5. İç dikdörtgenin alanı, kenar uzunluğu |\overrightarrow{KL}|=|\overrightarrow{KN}|=\sqrt{178} olduğundan 178.
  6. Mor bölge = 240-178=62\text{ cm}^2.

Detaylı Çözüm

Koordinat atamasıyla başlayalım:
A$(0,h), B(16,h), C(16,0), D(0,0)$.
KLMN’nin köşe noktaları sırayla
K$\bigl(3,h\bigr)$,
L$\bigl(16,h-3\bigr)$,
M$\bigl(14,0\bigr)$,
N$\bigl(0,2\bigr)$.

Dikdörtgen şartı: kenarlar dik olmalı.

\overrightarrow{KL}=(16-3,\,(h-3)-h)=(13,\,-3),\quad \overrightarrow{KN}=(0-3,\;2-h)=(-3,\;2-h).
\overrightarrow{KL}\cdot\overrightarrow{KN} =13\cdot(-3)+(-3)\cdot(2-h) =-39-6+3h=3h-45=0\quad\Longrightarrow\quad h=15.

Böylece
• Dış dikdörtgen ABCD boyutları 16\times15, alan 240\text{ cm}^2.
• İç dikdörtgen KLMN kenar uzunluğu

|\overrightarrow{KL}|=\sqrt{13^2+(-3)^2}=\sqrt{178}, \quad |\overrightarrow{KN}|=\sqrt{(-3)^2+(2-15)^2}=\sqrt{178},

alanı 178\text{ cm}^2.

Son adım:

\text{Mor bölge} \;=\;240-178=62\;\,\text{cm}^2.

ABCD vs KLMN Karşılaştırma

Özellik ABCD KLMN
Kenar uzunlukları 16\times15 cm \sqrt{178}\times\sqrt{178} cm
Alan 240\text{ cm}^2 178\text{ cm}^2
Konum Dış sınır Dört kenara temas

Özet Tablosu

Eleman Boyut (cm) Alan (cm²)
ABCD 16\times15 240
KLMN \sqrt{178}\times\sqrt{178} 178
Mor Bölge — 62

SSS

  1. KLMN nasıl dikdörtgen olduğu gösterilir?
    • (\overrightarrow{KL})\cdot(\overrightarrow{KN})=0 koşuluyla.

  2. KLMN kenar uzunluğu niçin \sqrt{178} çıktı?
    • 13^2+3^2=178 bağıntısından.

  3. Genel olarak kenar üzerine yerleştirilen dörtgen sorularında çözüm yolu nedir?
    • Koordinat atayıp vektörlerle diklik ve eşitlik koşullarını kullanmak.

  4. Alan farkı problemlerinde hangi adım kritik?
    • Dış ve iç alanları ayrı ayrı doğru bulup farkını almak.

Benzer geometride daha fazla pratik yapmak ister misiniz? @Zeynep_Vurhan