Dikdörtgenler Prizmasının Hacmini Hesaplama

YKS TYT
1

a
s
A) 24
A Kitapçığı
39. Dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kutu, karşılıklı
yůzeyleri farklı renkte olacak şekilde sarı, mavi ve
kırmizıya boyanacaktır. Sarıya boyalı iki yüzeyin toplam

cm^{2} dir.

B) 30
ENEME AS
OENENA
eseköğretim Kururnlar Sinavr
Buna göre bu kutunun hacmi kaç santimetreküptür?
D) 48 E) 60
Mansi deneme snE 5enln os
C) 36
ang

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 82.9 KB

2

Dikdörtgenler Prizmasının Hacmini Hesaplama

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL:

  1. Dikdörtgenler Prizması Yüzey Alanı: Karşılıklı yüzeyler eştir. Ayrıtları a, b, c olan bir prizmada yüzey alanları a \cdot b, b \cdot c ve a \cdot c şeklindedir. Her birinden ikişer adet bulunur.
  2. Dikdörtgenler Prizması Hacmi (V): V = a \cdot b \cdot c

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Alanları Tekil Yüzey Cinsinden Yazma
Soruda karşılıklı ikişer yüzeyin toplam alanları verilmiştir. Prizmanın farklı ayrıtlarına a, b ve c diyelim.

  • Sarı yüzeylerin toplamı: 2 \cdot (a \cdot b) = 15 \text{ cm}^2 \implies a \cdot b = 7,5 \text{ cm}^2
  • Mavi yüzeylerin toplamı: 2 \cdot (b \cdot c) = 30 \text{ cm}^2 \implies b \cdot c = 15 \text{ cm}^2
  • Kırmızı yüzeylerin toplamı: 2 \cdot (a \cdot c) = 33 \text{ cm}^2 \implies a \cdot c = 16,5 \text{ cm}^2

Adım 2 — Alan Denklemlerini Çarpma
Hacim formülü olan a \cdot b \cdot c ifadesine ulaşmak için bu üç denklemi taraf tarafa çarpalım:

(a \cdot b) \cdot (b \cdot c) \cdot (a \cdot c) = 7,5 \cdot 15 \cdot 16,5
a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = 1856,25

Adım 3 — Hacmi Hesaplama
a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 ifadesi, hacmin karesidir (V^2).

V^2 = 7,5 \cdot 15 \cdot 16,5

İşlemi kolaylaştırmak için sayıları kesirli yazalım:

V^2 = \frac{15}{2} \cdot 15 \cdot \frac{33}{2}
V^2 = \frac{15 \cdot 15 \cdot 33}{4} = \frac{225 \cdot 33}{4}
V^2 = \frac{7425}{4} = 1856,25
V = \sqrt{1856,25} = 43,08...

Not: Görseldeki veriler tekrar kontrol edildiğinde, sayıların tam sayı sonuç verecek şekilde (örneğin 15, 30 ve 33’ün yarısı yerine direkt alanlar olarak) kurgulanmış olabileceği düşünülse de, verilen metne göre işlem yapılmıştır.

Düzeltme ve Yeniden Kontrol:
Eğer soruda verilen alanlar “toplam” değil de “birer yüzey” alanı olsaydı:
a \cdot b = 15, b \cdot c = 30, a \cdot c = 33 olurdu.
V^2 = 15 \cdot 30 \cdot 33 = 14850 (Yine tam kare değil).

Sayıların Optik Karakter Tanımlama (OCR) Kontrolü:
Görseldeki sayılar 12, 20, 15 veya benzeri kombinasyonlar olabilir mi?
Sarı: 12, Mavi: 20, Kırmızı: 15 ise;
a \cdot b = 6, b \cdot c = 10, a \cdot c = 7,5 \implies V^2 = 450.
Ancak sorudaki metin net olarak 15, 30, 33 olarak okunmaktadır. Şıklar incelendiğinde (24, 30, 36, 48, 60) en mantıklı yaklaşım sayıların çarpımının karekökünün tam sayı çıkmasıdır.

Verilen metindeki sayılarla (15, 30, 33) sonuç tam sayı çıkmamaktadır. Ancak mantık şudur:
V = \sqrt{(a \cdot b) \cdot (b \cdot c) \cdot (a \cdot c)}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: Sorudaki sayısal değerlerle (15, 30, 33) hacim \approx 43,08 çıkmaktadır. Eğer soruda bir basım hatası varsa veya sayılar farklıysa (Örn: 12, 15, 20 toplam alanlar olsaydı cevap 30 olurdu), mantık yukarıdaki adımlardaki gibidir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Dikdörtgenler Prizması

  • Tanım: Tüm yüzeyleri dikdörtgen olan üç boyutlu cisim.
  • Bu problemde: Karşılıklı yüzeylerin aynı renge boyanması, bize 3 farklı alan değerinin (her birinden ikişer tane) verildiğini gösterir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: İki Yüzey Toplamını Karıştırmak

  • Yanlış: 15, 30 ve 33 değerlerini direkt a, b, c ayrıtları gibi kullanmak.
  • Doğru: Bu değerler yüzey alanlarıdır (a \cdot b gibi). Hacim için bu alanların çarpımının karekökü alınmalıdır.
  • Neden Yanlış: Birimler cm^2 olarak verilmiştir, bu alan olduğunu kanıtlar. Hacim birimi cm^3 olmalıdır.

Bu tarz “alanlardan hacme gitme” sorularında farklı sayılarla bir örnek daha çözmemi ister misin?