!17673047770862370455073564253216|375x500 [Link Silindi]
Dikdörtgen Zeminde Yerleştirilen Kartlar Problemi
Önemli Noktalar
- Dikdörtgen kartların uzunlukları 9 cm ve 12 cm.
- Kartlar aralarında boşluk olmayacak şekilde uç uca yerleştiriliyor.
- Zeminin uzunluğu 370 cm’den kısa ve tam sayı uzunlukta.
- Mavi (9 cm) ve yeşil (12 cm) kart sayıları toplamı en fazla olacak.
Kartların uzunlukları 9 cm ve 12 cm olduğundan, uç uca yerleştirilen bir sıra, 9 ve 12’nin ortak katlarının katları şeklinde düşünülebilir. Kartların toplam uzunluğu 370 cm’den kısa ve tam sayı olduğuna göre, bu uzunluk 9 ve 12’nin ortak katlarının bir tam katı olacaktır.
Ortak katı en küçük sayı, 9 ve 12’nin ekokudur.
Ekok(9,12) = 36 cm
Bu durumda, kartların toplam uzunluğu 36’nın tam katları şeklindedir.
- 36 x 10 = 360 cm < 370 cm → kullanılabilir.
- 36 x 11 = 396 cm > 370 cm → kullanılamaz.
En yüksek uzunluk 360 cm.
360 cm uzunlukta, toplam kart sayısını maksimum yapmak için 9 cm ve 12 cm kartlar kullanılır. Burada kart sayısını maksimize etmek için toplam uzunluk 360 cm’yi 9 ve 12’nin kombinasyonları ile elde etme durumu sorgulanır.
Bir sayı N uzunluk olarak,
9x + 12y = 360
x, y kartların sayısı (tam sayı ve sıfırdan büyük veya eşit).
Toplam kart sayısı:
x + y = ?
Maksimum olması için x + y'yi maksimize et.
Örneğin;
9x + 12y = 360 \implies 3(3x + 4y) = 360 \implies 3x + 4y = 120
x ve y tam sayı.
Bunu çözerken,
3x = 120 - 4y \implies x = \frac{120 - 4y}{3}
x tam sayı olmalı. Deneyerek bulabiliriz:
- y=0: x=40, toplam kart: 40 + 0 = 40
- y=3: x = \frac{120 - 12}{3} = \frac{108}{3} = 36, toplam: 36+3=39
- y=6: x = \frac{120 - 24}{3} = 32, toplam: 32+6=38
- y=9: x = \frac{120 - 36}{3} = 28, toplam: 28+9=37
- y=12: x = \frac{120 - 48}{3} = 24, toplam: 24+12=36
- y=15: x = \frac{120 - 60}{3} = 20, toplam=35
- y=18: x= \frac{120 - 72}{3}=16, toplam=34
- y=21: x= \frac{120-84}{3}=12, toplam=33
- y=24: x= \frac{120-96}{3}=8, toplam=32
- y=27:x= \frac{120-108}{3}=4, toplam=31
- y=30:x=\frac{120-120}{3}=0, toplam=30
Buna göre maksimum toplam kart sayısı 40 bulunur (her kart 9 cm’den, yani tamamı mavi kartlardan oluşmuş).
Soruda kullanılan mavi ve yeşil kartların sayıları toplamı en fazla kaçtır soruluyor.
Burada en yüksek toplam 40 karttır.
İçindekiler
Problemin Çözümü
Ortak katı ve kart uzunluklarını kullanarak, zeminin uzunluğu en fazla 370 cm’den azdır ve 9 cm ile 12 cm’lik kartlar, yan yana boşluksuz konmuş.
Kartların uzunluklarının toplamı 9 ve 12’nin ortak katı olan 36’nın tam katı olacaktır.
En yüksek 36’nın çarpanı 10’dur çünkü 36 \times 10 = 360 < 370 ve 36\times11=396>370.
360 cm boyunca kartları yerleştirirken, toplam kart sayısını maksimize etmek için mümkün olan en küçük kart sayısını (9 cm’liklerden) tercih etmek mantıklı.
9x + 12y = 360 denklemini sağlayan x,y tam sayıları için x+y maksimum yapılır.
Yukarıdaki hesaplamalara göre tüm 9 cm kart kullanımı (x=40, y=0) toplam 40 kart ile maksimumdur.
9 ve 12’nin EBOB ve EKOK’u
| Sayılar | EBOB | EKOK |
|---|---|---|
| 9 ve 12 | 3 | 36 |
- EBOB (En Büyük Ortak Bölen) 3
- EKOK (En Küçük Ortak Kat) 36
EKOK, beraber kullanılacak uzunlukların katı olan minimum uzunluktur.
Kart Sayısı Maksimizasyonu
a = 9, b = 12, zemin uzunluğu L,
a \cdot x + b \cdot y = L
Burada L en fazla 360 olabilir.
Toplam kart sayısı:
x + y = ?
Maksimum olması için x mümkün olduğunca büyük seçilir (daha küçük kart olduğundan sayıyı artırır).
Özet Tablosu
| Özellik | Değer/Not |
|---|---|
| Kart uzunlukları | 9 cm (mavi), 12 cm (yeşil) |
| Zemin max uzunluğu | 370 cm’den kısa |
| EKOK(9,12) | 36 cm |
| Maksimum uygun zemin uzunluğu | 360 cm (eksi 10 kat EKOK) |
| Maksimum kart sayısı toplamı | 40 (tamamı 9 cm kart) |
Sıkça Sorulan Sorular
Soru: Kartlar mutlaka 9 ve 12 cm’lik kartlarla mı olmalı?
Cevap: Evet, problemde verilen boyutlar sadece 9 cm ve 12 cm.
Soru: Neden 370 cm’den kısa diye sınır var?
Cevap: Zeminin uzunluğu 370 cm’den kısa, bu yüzden 370 veya üzeri kabul edilmez.
Soru: Neden EKOK hesaplanıyor?
Cevap: Kartların toplam uzunluğu, kullanılan tüm kartların uç uca eklenmesiyle elde edilir. Boşluk olmadan yerleştirileceği için uzunlukların ortak katı hesaplanarak en anlamlı sonuç bulunur.
Zeminin uzunluğu 370 cm’den kısa ve tam sayı olduğuna göre en uygun uzunluk 360 cm olup, kart sayıları toplamı en fazla 40 olur.
Kartlar tamamen 9 cm olanlardan seçildiğinde toplam kart sayısı maksimumdur.
Daha fazla açıklama veya benzer problemler ister misiniz?
Dikdörtgen Zemine Yerleştirilen Kart Sayılarının Maksimumu
- Zeminin uzunluğu L, tam sayı olmak üzere L<370
- Kart boyları: 9 cm (mavi) ve 12 cm (yeşil)
- Hiç boşluk kalmayacak şekilde 9a + 12b = L
- Amaç: a + b en büyük olsun
1. Çözüm Özeti
Tüm L<370 değerleri arasında kart sayısını maksimize etmek için mümkün olduğunca küçük boy kartlar (9 cm) kullanılmalıdır.
- En büyük L değeri 369 cm’dir (çünkü 370’e en yakın ve 9’a tam bölünebilen sayı).
- 369 cm = 9 \times 41 olduğundan 41 adet 9 cm kart yerleştirilir.
- Böylece a=41,\ b=0 ve a+b=41 elde edilir.
2. Derinlemesine İnceleme
Zemini tamamen kaplayacak şekilde
9a + 12b = L,\quad L<370,\;a,b\in\mathbb{Z}_{\ge0}
denklemine bakıyoruz. Karte maksimum sayıda olsun istendiğinde:
- Kart başına uzunluğu en küçük olan 9 cm karttan mümkün olduğunca fazla kullanmak en avantajlıdır.
- 9 cm’lik kartlarla tamamen kaplanabilen en büyük L<370 değeri: L=369
çünkü 369/9=41 tam sayı ve 369’dan büyük birden 9’a bölünebilen değer 378’e çıkar ki 370’i aşar.
Dolayısıyla:
a = \frac{369}{9} = 41,\quad b=0,\quad a+b=41.
3. Kart Boyları Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | 9 cm Kart (Mavi) | 12 cm Kart (Yeşil) |
|---|---|---|
| Karte boyu | 9 cm | 12 cm |
| Uzunluk başına kart sayısı | \tfrac{L}{9} | \tfrac{L}{12} |
| Daha fazla kart için avantaj | Evet | Hayır |
| En yüksek kart sayısı sağlama | 41 adet | 30 adet (360 cm) |
4. Özet Tablosu
| Zeminin Uzunluğu L (cm) | a (9 cm kart) | b (12 cm kart) | a+b (Toplam) |
|---|---|---|---|
| 369 | 41 | 0 | 41 |
5. SSS
S1: Neden L=369 seçildi?
C1: 370’den küçük ve 9 ile tam bölünebilen en büyük tam sayı 369’dur; bu, en çok 9 cm kart kullanılmasını sağlar.
S2: Neden hiç 12 cm kart kullanılmadı?
C2: 12 cm kartlar yerleştikçe toplam kart sayısı azalır. Maksimum sayıyı elde etmek için yalnızca 9 cm kart tercih edilmiştir.
S3: Zeminin tam uzunluğu farklı şekilde belirlenebilir miydi?
C3: L değeri 9 ve 12’nin kombinasyonuna bağlıdır; örn. 360 cm de mümkündür ama toplam kart sayısı daha düşüktür.
S4: Kart sayısını artırmak için başka strateji var mı?
C4: Kart boylarını küçültmek gerekirdi; mevcut seçenekler içinde 9 cm en küçüğüdür.
Bu yerleştirmede maksimum kart sayısı = 41’dir.
Bu konuya benzer ek sorular çözmek ister misiniz? @Nurcan14