- X vey pozitif tam sayilar olmak üzere, ön cephes
dikdörtgen olan bir binanın ön cephesinin kenar uzunluklar
(2x + 3) metre
ve (5y + 2) metredir.
Bu binanın ön cephesinin yüzey alanı 749 metrekare
olduğuna göre, x + y toplamı en çok kaçtir?
A) 23
B) 33
c) 47
D) 53
E) 6
Dikdörtgen Binanın Ön Cephe Alanı ve x + y Toplamı Sorusu
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir dikdörtgenin alanı, iki kenar uzunluğunun çarpımına eşittir:
\text{Alan} = a \times b
Bu soruda: (2x + 3) \cdot (5y + 2) = 749 denklemini kullanacağız.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Alan Denklemini Kurma ve 749 Sayısını Çarpanlarına Ayırma
Binanın ön cephesi bir dikdörtgen olduğuna göre, verilen kenar uzunluklarının çarpımı alanı vermelidir:
(2x + 3) \cdot (5y + 2) = 749
749 sayısının çarpanlarını bulalım. 749 sayısı 7’ye bölünür: 749 = 7 \times 107.
107 bir asal sayıdır. Dolayısıyla çarpan çiftleri şunlardır:
- 1 \times 749
- 7 \times 107
- 107 \times 7
- 749 \times 1
Adım 2 — Pozitif Tam Sayı Şartına Göre Çarpanları Değerlendirme
x ve y pozitif tam sayılar (x, y \ge 1) olduğu için:
- 2x + 3 en az 2(1) + 3 = 5 olmalıdır.
- 5y + 2 en az 5(1) + 2 = 7 olmalıdır.
Bu durumda (1 \times 749) ve (749 \times 1) seçeneklerini eleyebiliriz çünkü çarpanlardan birinin 1 olması x veya y’yi negatif ya da sıfır yapar.
Adım 3 — x + y Toplamını En Çok Yapacak Durumu Belirleme
Elimizde iki ana durum kaldı:
Durum A: 2x + 3 = 7 ve 5y + 2 = 107
Durum B: 2x + 3 = 107 ve 5y + 2 = 7
Şimdi bu denklemleri çözelim:
Durum A Çözümü:
2x + 3 = 7 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2
5y + 2 = 107 \Rightarrow 5y = 105 \Rightarrow y = 21
x + y = 2 + 21 = 23
Durum B Çözümü:
2x + 3 = 107 \Rightarrow 2x = 104 \Rightarrow x = 52
5y + 2 = 7 \Rightarrow 5y = 5 \Rightarrow y = 1
x + y = 52 + 1 = 53
En çok değeri aradığımız için 53 sonucunu seçiyoruz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 53
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çarpanlara Ayırma
- Tanım: Bir sayıyı, çarpıldıklarında o sayıyı veren tam sayıların çarpımı şeklinde yazmaktır.
- Bu problemde: 749 sayısının sadece 7 ve 107 gibi asal çarpanlara sahip olduğunu belirlemek çözüme gitmemizi sağlamıştır.
2. Pozitif Tam Sayı Kısıtlaması
- Tanım: Değişkenlerin \{1, 2, 3, \dots\} kümesine ait olmasıdır.
- Bu problemde: x ve y için bulduğumuz değerlerin bu kısıtlamaya uyup uymadığını kontrol ederek olasılıkları eledik.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yanlış Çarpan Seçimi
- Hatalı: x ve y toplamının en çok olması için çarpanlardan birini 1 olarak almak (Örn: 5y + 2 = 1).
- Doğru: Denklem çözüldüğünde 5y = -1 gibi bir sonuç çıkar ki bu “pozitif tam sayı” şartına aykırıdır.
- Neden Yanlış: Sorudaki “pozitif tam sayı” ifadesi, her zaman sınır değerleri belirlemek için dikkatle okunmalıdır.
Bu sorudaki gibi çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak farklı bir alan değeri üzerinden pratik yapmak ister misin?