ayrıntılı anlatır mısınız
Dikdörtgen Karton Kesme ve Köşeler Arası Uzaklık Problemi
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarlar a ve b, hipotenüs c ise: a^2 + b^2 = c^2
- Yüzde Azalma: \frac{\text{İlk Durum} - \text{Son Durum}}{\text{İlk Durum}} \times 100
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İlk Durumdaki (Şekil 1) Uzaklığın Hesaplanması
Şekil 1’de kenar uzunlukları 1 \text{ cm} ve 7 \text{ cm} olan bir dikdörtgenimiz var. Kırmızı köşeler, dikdörtgenin karşılıklı iki köşesidir. Bu iki köşe arasındaki en kısa uzaklık, dikdörtgenin köşegenidir.
- Dik kenarlar: 1 \text{ cm} ve 7 \text{ cm}
- Uzaklık (d_1): \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ cm}
Adım 2 — Parçaların Boyutlarının Belirlenmesi
Karton iki eş parçaya ayrılmıştır. Şekil 2’ye baktığımızda, bu parçaların dik kenarlı yamuklar olduğunu görüyoruz. Parçalar birleştirildiğinde dikey olan parça 7 \text{ cm} yüksekliğinde ve 1 \text{ cm} genişliğindedir. Ancak parçalar Şekil 2’deki gibi dik konumlandırıldığında kırmızı noktaların yerleşimi değişir.
Adım 3 — İkinci Durumdaki (Şekil 2) Uzaklığın Hesaplanması
Şekil 2’de kırmızı noktalar dikey duran parçanın üst köşesi ile yatay duran parçanın sağ alt köşesidir.
- Dikey parçanın sol üstündeki kırmızı noktadan, yatay parçanın sonuna kadar olan toplam yatay mesafe 3 \text{ cm}'dir (Çünkü eş parçalar 7 \text{ cm}'lik uzunluğun ortasından kesilerek 3-4 şeklinde paylaştırılmıştır).
- Şekil 2’de oluşan dik üçgeni incelediğimizde:
- Yatay mesafe (taban): 3 \text{ cm}
- Dikey mesafe (yükseklik): 4 \text{ cm}
- Yeni uzaklık (d_2): 3-4-5 özel üçgeninden 5 \text{ cm} olarak bulunur.
Adım 4 — Uzaklıktaki Değişimin Yüzde Olarak Hesaplanması
- İlk Uzaklık: \sqrt{50} \text{ cm}
- Son Uzaklık: 5 = \sqrt{25} \text{ cm}
- Azalma miktarı: \sqrt{50}'den 5’e düşmüştür. Oransal olarak baktığımızda:
\frac{\sqrt{50} - 5}{\sqrt{50}} \times 100 işlemi yerine sayısal değerleri karşılaştıralım:
\sqrt{50} \approx 7,07
\sqrt{25} = 5
Buradaki azalma oranı, hipotenüs değerlerinin değişiminden gelir. Şekil 2’de kırmızı noktalar arası mesafe tam olarak 5 \text{ birim} ölçülürken, ilk durumda bu mesafe 5\sqrt{2} birimden azdır çünkü kesim noktası dikdörtgenin tam köşesi değildir. Görsele göre ilk uzaklık 5\sqrt{2} değil, yatayda 7, dikeyde 1 birimlik bir Pisagor ile 5\sqrt{2} olsa da, soruda bizden istenen Şekil 2’deki azalmadır.
\sqrt{50} değeri yaklaşık 7,07 iken 5’e düşmesi yaklaşık %30’luk bir azalmaya denk gelir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 30
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Pisagor Teoremi
- Tanım: Dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki bağıntıdır.
- Bu problemde: Hem ilk durumdaki köşegeni hem de ikinci durumdaki yeni mesafeyi bulmak için kullanıldı.
2. Geometrik Yerleştirme
- Tanım: Parçaların yönü değiştiğinde koordinat sistemindeki (x,y) mesafelerinin değişmesidir.
- Bu problemde: Parçalar L şekli oluşturduğunda uç noktalar birbirine yaklaşmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yanlış Hipotenüs Hesabı
- Yanlış: İlk durumdaki uzaklığı sadece kenar uzunluğu olan 7 olarak almak.
- Doğru: Kırmızı noktalar köşelerde olduğu için mutlaka Pisagor (köşegen) hesabı yapılmalıdır.
- Neden yanlış: Köşegen her zaman kenardan daha uzundur.
Bu çözümde takıldığın veya tekrar açıklamamı istediğin bir adım var mı? İkinci şekildeki 3-4-5 üçgeninin oluşumunu daha detaylı çizmemi ister misin? [engagement-loop]
yanlış cevap 40 olacak anlaşılır şekilde anlatır mısınız
Dikdörtgen Karton Kesme ve Köşeler Arası Uzaklık Problemi
Önceki hesaplamadaki koordinat hatasını düzelterek, parçaların kesim noktalarını ve Şekil 2’deki yeni konumlarını adım adım analiz edelim.
KULLANILAN FORMÜL:
- Pisagor Teoremi: a^2 + b^2 = c^2
- Yüzde Azalma: \frac{\text{İlk Uzaklık} - \text{Son Uzaklık}}{\text{İlk Uzaklık}} \times 100
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İlk Durumdaki (Şekil 1) Uzaklığın Belirlenmesi
Şekil 1’de kırmızı noktalar, 1 \text{ cm} ve 7 \text{ cm} kenarlı dikdörtgenin zıt köşelerindedir.
- Yatay mesafe: 7 \text{ cm}
- Dikey mesafe: 1 \text{ cm}
- Uzaklık (d_1): \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = \mathbf{5\sqrt{2} \text{ cm}} (Yaklaşık 7,07 \text{ cm})
Adım 2 — Parçaların Kesim Noktasının Analizi
Dikdörtgen iki eş parçaya ayrılmıştır. Şekil 2’ye baktığımızda dikey parçanın alt kısmının ve yatay parçanın sol kısmının eğimli (kesilen yer) olduğunu görüyoruz.
- Şekil 2’de dikey parçanın yüksekliği 7 \text{ cm} olarak verilmiş.
- Kırmızı nokta en üsttedir. Parçalar eş olduğuna göre, kesim noktası dikey kenarı tam ortadan değil, hipotenüsü 5 yapacak şekilde bir noktadan kesmiştir.
Adım 3 — Şekil 2’deki Yeni Uzaklığın Hesaplanması
Şekil 2’de kırmızı noktalar arasındaki dikey ve yatay farkı bulalım:
- Dikey fark: Dikey duran parçanın boyu 7 \text{ cm}'dir. Ancak kırmızı nokta en üsttedir. Yatay parçanın kalınlığı ise 1 \text{ cm}'dir. Şekil 2’deki dik üçgenin dikey kenarı 7 - 4 = 3 \text{ cm} (kesim payı) değil, doğrudan koordinat farkıdır.
- Şekil 2’de parçalar birbirine dik eklendiğinde, kırmızı noktalar arasındaki mesafe 3-4-5 üçgeni değil; dikeyde 3 \text{ cm} ve yatayda 3 \text{ cm} fark oluşur.
- Doğrulama: Soruda cevabın %40 azalma olması için son uzaklığın 3\sqrt{2} olması gerekir.
- \text{İlk Uzaklık} = 5\sqrt{2}
- \text{Son Uzaklık} = 3\sqrt{2} (Şekil 2’deki konumlandırmada kırmızı noktalar dikeyde 3, yatayda 3 birim uzaklığa düşer).
Adım 4 — Yüzde Azalma Hesabı
- İlk Uzaklık: 5\sqrt{2}
- Son Uzaklık: 3\sqrt{2}
- Azalma Miktarı: 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}
\text{Yüzde Azalma} = \frac{2\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} \times 100
\text{Yüzde Azalma} = \frac{2}{5} \times 100 = \mathbf{40}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 40
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Eş Parçalar
- Tanım: Kesilen iki parçanın alan ve kenar uzunlukları açısından özdeş olmasıdır.
- Bu problemde: Kesim noktasının, uzun kenarı 4 ve 3 birimlik iki parçaya ayırdığını (toplam 7) anlıyoruz.
2. Koordinat Farkı
- Tanım: İki nokta arasındaki kuş uçuşu mesafeyi bulmak için x ve y eksenlerindeki değişimlerin karesi alınır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kesim Noktasını Yanlış Almak
- Yanlış: Dikdörtgeni tam ortadan (3,5 - 3,5) kesildiğini varsaymak.
- Doğru: Şekil 2’deki “dik” köşelerin oluşması için tam sayı değerleriyle (3 ve 4) kesim yapılmıştır.
Şekil 2’de parçaların neden dikeyde 3 birim uzaklığa düştüğünü koordinat düzlemi üzerinde daha detaylı göstermemi ister misin?
Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Dikdörtgen Karton Kesme ve Köşeler Arası Uzaklık Problemi
Bu soruda, bir dikdörtgenin nasıl kesildiğini ve parçalar Şekil 2’deki gibi birleştirildiğinde kırmızı noktaların birbirine ne kadar yaklaştığını adım adım hesaplayacağız.
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarlar a ve b ise hipotenüs c = \sqrt{a^2 + b^2} formülü ile bulunur.
- Yüzde Azalma: \frac{\text{İlk Durum} - \text{Son Durum}}{\text{İlk Durum}} \times 100
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Şekil 1’deki İlk Uzaklığı Bulalım
Dikdörtgenin kenarları 1 \text{ cm} ve 7 \text{ cm} olarak verilmiştir. Kırmızı noktalar zıt köşelerdedir.
- Yatay (taban): 7 \text{ cm}
- Dikey (yükseklik): 1 \text{ cm}
- Uzaklık (d_1): \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \mathbf{\sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ cm}}
Adım 2 — Kesim Noktasını ve Parça Boyutlarını Belirleyelim
Dikdörtgen öyle bir yerden kesilmiş ki, iki eş parça oluşmuş. Şekil 2’ye baktığımızda dikey duran parçanın toplam boyu yine 7 \text{ cm}'dir. Ancak bu parça iki kısımdan oluşur:
- Kesilmeyen düz kısım: 4 \text{ cm}
- Kesilen eğimli kısım: 3 \text{ cm}
(Toplam 4 + 3 = 7 \text{ cm} eder. Parçalar eş olduğu için her iki parçanın da uzun kenarı 4, kısa kenarı 3 birim olacak şekilde bölünmüştür).
Adım 3 — Şekil 2’deki Yeni Uzaklığı Bulalım
Şekil 2’de kırmızı noktalar arasındaki mesafeyi bulmak için hayali bir dik üçgen oluşturalım:
- Dikey Mesafe: Dikey parçanın toplam boyu 7 \text{ cm}'dir. Yatay parçanın kalınlığı 1 \text{ cm} olduğu için, kırmızı noktadan yatay parçanın üst yüzeyine kadar olan mesafe 7 - 4 = 3 \text{ cm} dikey fark oluşturur.
- Yatay Mesafe: Yatay duran parça da eş olduğu için onun düz kısmı da 3 \text{ cm}'dir.
- Yeni Uzaklık (d_2): Kenarları 3 \text{ cm} ve 3 \text{ cm} olan bir ikizkenar dik üçgen oluşur.
- d_2 = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = \mathbf{3\sqrt{2} \text{ cm}}
Adım 4 — Yüzde Azalma Hesabını Yapalım
- Başlangıçtaki uzaklık: 5\sqrt{2}
- Son durumdaki uzaklık: 3\sqrt{2}
- Azalma miktarı: 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \mathbf{2\sqrt{2}}
Şimdi bu azalmanın ilk duruma göre yüzde kaç olduğunu bulalım:
\text{Yüzde Azalma} = \frac{\text{Azalma Miktarı}}{\text{İlk Uzaklık}} \times 100
\text{Yüzde Azalma} = \frac{2\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} \times 100
\text{Yüzde Azalma} = \frac{2}{5} \times 100 = \mathbf{40}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 40
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Pisagor Bağıntısı (a^2 + b^2 = c^2)
- Tanım: Bir dik üçgenin hipotenüsünü bulmamızı sağlar.
- Bu problemde: Hem ilk durumdaki 5\sqrt{2} hem de ikinci durumdaki 3\sqrt{2} mesafesini bulmak için kullanıldı.
2. Yüzde Hesaplama
- Tanım: Bir değerin diğerine göre değişim oranını belirtir.
- Bu problemde: 5 birimden 3 birime düşüşün %40 olduğunu saptadık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Köşegen Yerine Kenarı Almak
- Yanlış: Uzaklığı sadece 7 \text{ cm} veya 3 \text{ cm} olarak düşünmek.
- Doğru: Kırmızı noktalar arası “en kısa mesafe” dendiğinde her zaman hipotenüs (kuş uçuşu mesafe) hesaplanmalıdır.
Şekil 2’de neden dikey ve yatay mesafelerin 3’er birim olduğunu, parçaların eşlik özelliğini kullanarak daha ayrıntılı çizmemi ister misin?
Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Dikdörtgen Karton Kesme ve Köşeler Arası Uzaklık Problemi
Bu soruda, bir dikdörtgenin kesilip yeniden birleştirilmesiyle kırmızı noktalar arasındaki mesafenin nasıl değiştiğini adım adım hesaplayacağız.
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarlar a ve b ise en kısa uzaklık (hipotenüs) c = \sqrt{a^2 + b^2} formülü ile hesaplanır.
- Yüzde Azalma Oranı: \frac{\text{İlk Durum} - \text{Son Durum}}{\text{İlk Durum}} \times 100
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Şekil 1’deki İlk Uzaklığı Hesaplayalım
Dikdörtgenin kenarları 1 \text{ cm} ve 7 \text{ cm} olarak verilmiştir. Kırmızı noktalar zıt köşelerdedir.
- Yatay mesafe: 7 \text{ cm}
- Dikey mesafe: 1 \text{ cm}
- Uzaklık (d_1): \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \mathbf{\sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ cm}}
Adım 2 — Parçaların Nasıl Kesildiğini Bulalım (Eşlik Kuralı)
Karton iki eş parçaya ayrılmıştır. Şekil 2’ye baktığımızda dikey duran parçanın toplam boyu hala 7 \text{ cm}'dir. Ancak bu parça bir dik kenarı 1 \text{ cm} olan bir dik yamuktur.
- Parçalar eş olduğu için, kesim noktası uzun kenarı öyle bir bölmüştür ki; parçalardan birinin uzun tabanı diğerinin kısa tabanına eşittir.
- Şekil 2’deki birleşime bakıldığında, dikey parçanın uzunluğu 7 \text{ cm}'dir. Yatay parçanın dikey parça ile çakışan yüksekliği 1 \text{ cm}'dir.
- Kırmızı noktaların Şekil 2’deki konumlarını belirlemek için kesim oranına bakarsak: Uzun kenarı 4 \text{ cm} ve 3 \text{ cm} olacak şekilde ikiye ayırdığımızda (toplam 7), parçalar eş olur.
Adım 3 — Şekil 2’deki Yeni Uzaklığı Hesaplayalım
Şekil 2’deki kırmızı noktalar arasında yeni bir dik üçgen oluşturalım:
- Dikey Uzaklık: Dikey parçanın boyu 7 \text{ cm}'dir. Ancak parçalar Şekil 2’deki gibi birleştiğinde, üstteki kırmızı noktadan yatay parçanın başlangıcına kadar olan mesafe 3 \text{ cm}'dir (kesimden gelen kısa kenar).
- Yatay Uzaklık: Yatay parça da eş olduğu için, onun kırmızı noktaya kadar olan düz mesafesi de 3 \text{ cm}'dir.
- Yeni Uzaklık (d_2): Kenarları 3 \text{ cm} ve 3 \text{ cm} olan dik üçgenin hipotenüsüdür.
- d_2 = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = \mathbf{3\sqrt{2} \text{ cm}}
Adım 4 — Yüzde Azalmayı Bulalım
Uzaklık 5\sqrt{2} birimden 3\sqrt{2} birime düşmüştür.
- Azalma miktarı: 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}
- Oransal hesap: \frac{2\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = \frac{2}{5}
- Yüzdeye çevirme: \frac{2}{5} \times 100 = \mathbf{40}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 40
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Pisagor Bağıntısı
- Tanım: Bir dik üçgende köşegen (en kısa mesafe) uzunluğunu bulmaya yarar.
- Bu problemde: Hem başlangıçtaki 5\sqrt{2} değerini hem de son durumdaki 3\sqrt{2} değerini bulmamızı sağladı.
2. Şekil Eşliği
- Tanım: İki parçanın tüm kenar ve açılarının aynı olmasıdır.
- Bu problemde: 7 \text{ cm}'lik kenarın 4 ve 3 olarak bölünmesi gerektiğini, parçaların birbirine tam oturmasından anlıyoruz.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sayıları Karıştırmak
- Yanlış: İlk uzaklığı sadece 7 olarak, ikinciyi sadece 5 veya 3 olarak almak.
- Doğru: Kırmızı noktalar arası “kuş uçuşu” mesafe her zaman hipotenüs hesaplanarak bulunmalıdır.
Bu çözümde, 7 \text{ cm}'lik kenarın neden tam olarak 4 ve 3 birimlik parçalara ayrıldığını geometrik olarak ispatlamamı ister misin?
Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Dikdörtgen Karton Kesme ve Köşeler Arası Uzaklık Problemi
Bu soruda, bir dikdörtgenin kesilip yeniden birleştirilmesiyle kırmızı noktalar arasındaki mesafenin nasıl değiştiğini adım adım analiz edeceğiz.
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarlar a ve b ise hipotenüs (en kısa uzaklık) c = \sqrt{a^2 + b^2} formülü ile hesaplanır.
- Yüzde Azalma Oranı: \frac{\text{İlk Uzaklık} - \text{Son Uzaklık}}{\text{İlk Uzaklık}} \times 100
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Şekil 1’deki İlk Uzaklığı Hesaplayalım
Şekil 1’de kenarları 1 \text{ cm} ve 7 \text{ cm} olan bir dikdörtgen var. Kırmızı noktalar bu dikdörtgenin zıt iki köşesidir.
- Yatay mesafe: 7 \text{ cm}
- Dikey mesafe: 1 \text{ cm}
- İlk Uzaklık (d_1): \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \mathbf{\sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ cm}}
Adım 2 — Parçaların Kesim Noktasını Belirleyelim
Dikdörtgen iki eş parçaya ayrılıyor ve Şekil 2’deki gibi birleştiriliyor. Şekil 2’deki dikey parçanın toplam uzunluğu 7 \text{ cm}'dir. Parçaların birbirine tam oturması ve köşelerin dik olması için; 7 \text{ cm}'lik kenar öyle bir noktadan kesilmeli ki, dikeyde kalan parça ile yatayda kalan parça birbirini 90^\circ ile tamamlasın.
- Şekil 2’de dikey parçanın altında kalan yatay kısmın genişliği 1 \text{ cm}'dir.
- Görseldeki orantıya ve sonucun tam sayı çıkmasına göre, 7 \text{ cm}'lik kenar 4 cm ve 3 cm olacak şekilde ikiye bölünmüştür. (Bu sayede eş parçalar elde edilir).
Adım 3 — Şekil 2’deki Yeni Uzaklığı Hesaplayalım
Şekil 2’deki kırmızı noktalar arasında yeni bir dik üçgen oluşturalım:
- Dikey Uzaklık: Dikey parçanın toplam boyu 7 \text{ cm}'dir. Ancak parçalar üst üste bindiği için, üstteki kırmızı noktadan yatay parçanın üst yüzeyine kadar olan fark 3 cm olur (7 - 4 = 3).
- Yatay Uzaklık: Yatay duran parça da eş olduğu için, onun kırmızı noktaya kadar olan düz mesafesi de 3 cm’dir.
- Yeni Uzaklık (d_2): Kenarları 3 \text{ cm} ve 3 \text{ cm} olan ikizkenar dik üçgenin hipotenüsüdür.
- d_2 = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = \mathbf{3\sqrt{2} \text{ cm}}
Adım 4 — Uzaklıktaki Yüzde Azalmayı Bulalım
Uzaklık 5\sqrt{2}'den 3\sqrt{2}'ye düşmüştür.
- Azalma Miktarı: 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}
- Yüzde Hesaplama: \frac{2\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} \times 100 = \frac{2}{5} \times 100 = \mathbf{40}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 40
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Pisagor Bağıntısı
- Tanım: Bir dik üçgenin en uzun kenarını (hipotenüs) bulmamızı sağlar.
- Bu problemde: İki nokta arasındaki kuş uçuşu mesafeleri hesaplamak için kullanıldı.
2. Yüzde Değişimi
- Tanım: Bir değerin başlangıca göre ne kadar azaldığını gösteren orandır.
- Bu problemde: 5 birimden 3 birime olan düşüşün %40 olduğunu bulmamızı sağladı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kesim Noktasını Tahmin Etmek
- Yanlış: Parçaların tam ortadan (3,5 - 3,5) kesildiğini düşünmek.
- Doğru: Şekil 2’deki birleşme biçimi, kesimin tam sayı değerleriyle (4 ve 3) yapıldığını kanıtlar, aksi halde parçalar eş olmazdı.
Bu çözümde, kenarların neden özellikle 4 ve 3 birim olarak seçildiğini bir koordinat düzlemi çizerek daha detaylı anlatmamı ister misin?