Dikdörtgen ile kare arasındaki açı 124° dir.
Yukarıdaki verilere göre, eşkenar üçgen ile kare arasın-
daki açı (o) kaç derecedir
A) 86
B) 88
C) 90
D) 92
E) 94
Dikdörtgen, Kare ve Eşkenar Üçgen Arasındaki Açı (\alpha) Problemi
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Bir noktadaki tam açı 360^\circ’dir.
- Dikdörtgenin iç açıları 90^\circ’dir.
- Karenin iç açıları 90^\circ’dir.
- Eşkenar üçgenin iç açıları 60^\circ’dir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Dikdörtgenin Köşesindeki Açıyı Belirleme
Şekildeki dikdörtgenin iç köşesi 90^\circ’dir. Bu köşe ile kare arasındaki dış açı 124^\circ olarak verilmiştir. Dikdörtgenin köşesindeki açının bütünleyeni olan açı, kare ile dikdörtgenin kesiştiği noktada 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ olmalıdır. Verilen 124^\circ açı, dikdörtgenin dış kenarı ile karenin kenarı arasındaki açıdır. Bu durumda, karenin köşe açısının bir kısmı 124^\circ - 90^\circ = 34^\circ’dir.
Şekildeki gibi hizalanmış bir dikdörtgenin iç açısı 90^\circ’dir. Bu açı ile karenin kenarı arasında oluşan 124^\circ açıyı inceleyelim. Karenin bir köşesi ile dikdörtgenin bir köşesi çakıştığında ve dikdörtgenin kenarı yatayda olduğunda, dikdörtgenin iç açısı 90^\circ olacaktır.
124^\circ olarak verilen açı, dikdörtgenin dış tarafındaki yatay çizgi ile karenin üst kenarı arasındaki açıdır. Bu durumda, karenin iç köşesinin bir kısmı ile dikdörtgenin kenarının arasındaki açı 124^\circ - 90^\circ = 34^\circ olur. Bu açı, karenin köşesinden içe doğru olan açıdır.
Adım 2 — Karenin Çevresindeki Toplam Açıyı Bulma
Karenin iç köşesi 90^\circ’dir. Dikdörtgen ile kare arasındaki açı 124^\circ ise, bu 124^\circ’nin 90^\circ’si karenin köşesinin bir kısmını oluşturur. Kalan kısım 124^\circ - 90^\circ = 34^\circ olur. Bu 34^\circ karenin diğer kenarı ile oluşan açıdır.
Karenin bir köşesine bakıldığında, toplam açı 360^\circ olmalıdır. Bu köşede üçgen, kare ve boşluk açıları bulunmaktadır.
Eşkenar üçgenin iç açısı 60^\circ’dir. Karenin iç açısı 90^\circ’dir.
Şekilde karenin bir köşesinin etrafındaki açılara odaklanalım.
- Karenin kendi iç açısı: 90^\circ
- Eşkenar üçgenin kendi iç açısı: 60^\circ
- Dikdörtgen ile karenin üst kenarı arasındaki açı: 124^\circ
- Aranan açı: \alpha
Şekilde, dikdörtgenin yatay kenarı ile karenin üst kenarı arasındaki açı 124^\circ’dir. Dikdörtgenin iç açısı 90^\circ olduğundan, karenin üst köşesinde kalan açı 124^\circ - 90^\circ = 34^\circ’dir. Bu 34^\circ açı, karenin dışındaki bir boşluğu temsil eder.
Şimdi, karenin iç köşesinde eşkenar üçgenle birlikte oluşan açıya odaklanalım. Karenin ve eşkenar üçgenin bir köşesi ortak noktadadır. Bu ortak noktada, karenin bir köşesi 90^\circ, eşkenar üçgenin bir köşesi 60^\circ ve dikdörtgen ile karenin kesiştiği yerde oluşan açı 34^\circ (bu dışarıda kalan boşluk açısıdır).
Karenin köşesindeki toplam açı 360^\circ’dir. Ancak buradaki şekil karmaşıktır. Daha basit bir yaklaşımla, karenin köşesinin etrafındaki açılara bakalım:
- Karenin iç açısı: 90^\circ
- Eşkenar üçgenin iç açısı: 60^\circ
- Dikdörtgenin köşesi ile karenin kenarı arasındaki açı: 124^\circ
- Aranan açı: \alpha
Dikdörtgenin yatay kenarı ile karenin üst kenarı arasındaki açı 124^\circ’dir. Dikdörtgenin kendi iç açısı 90^\circ’dir. Bu durumda, karenin üst köşesinde, dikdörtgenin kenarının uzantısı ile karenin kenarı arasında 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ bir açı vardır. Bu açı, karenin bir kenarı ile dikdörtgenin kenarının uzantısı arasındaki açıdır.
Karenin iç açısı 90^\circ’dir. Üst köşede 56^\circ açı olduğuna göre, karenin kalan iç açısı 90^\circ - 56^\circ = 34^\circ olur. Bu 34^\circ açı, karenin yataydaki kenarı ile dikdörtgenin dikey kenarı arasındaki açıdır.
Şimdi diğer köşeye, yani \alpha açısının bulunduğu yere odaklanalım. Karenin bir iç açısı 90^\circ, eşkenar üçgenin bir iç açısı 60^\circ’dir. Bu iki şeklin birleştiği köşede, 90^\circ ve 60^\circ’nin yanı sıra \alpha açısı ve bir miktar daha boşluk bulunmaktadır.
Karenin alt kenarı ile eşkenar üçgenin alt kenarı aynı hizada değil, kare ve eşkenar üçgen bir köşeden çakışmaktadır.
Dikdörtgenin yatay kenarı ile karenin üst kenarı arasındaki açının 124^\circ olduğunu biliyoruz.
Bu durumda, karenin üst sağ köşesindeki açıyı bulalım: Karenin iç açısı 90^\circ’dir. Dikdörtgenin kenarı ile karenin kenarı arasında oluşan 124^\circ açı, dışarıdan verilmiş bir açıdır. Bu iki şeklin kesiştiği noktada, dikdörtgenin iç açısı 90^\circ ve karenin bir kenarı arasındaki açı 124^\circ olarak verilmişse, bu 124^\circ’lik açının 90^\circ’si karenin köşesinin bir parçasıdır. Geriye kalan 124^\circ - 90^\circ = 34^\circ ise karenin diğer kenarı ile dikdörtgenin kenarının uzantısı arasındaki açıdır.
Şimdi \alpha açısının olduğu köşeye gidelim. Bu köşede karenin bir iç açısı 90^\circ ve eşkenar üçgenin bir iç açısı 60^\circ bulunmaktadır. Ayrıca \alpha açısı da bu köşededir.
Karenin ve eşkenar üçgenin ortak köşesinde oluşan tüm açılar toplamı 360^\circ olmalıdır.
Karenin iç açısı 90^\circ.
Eşkenar üçgenin iç açısı 60^\circ.
Şekilde görüldüğü gibi, \alpha açısı, eşkenar üçgen ile karenin köşesinde birleştiği yerde dışarıda kalan açıdır.
Dikdörtgenin köşesinden geçen yatay çizgi ve karenin üst kenarı arasındaki açı 124^\circ’dir. Bu 124^\circ açı, aynı zamanda karenin bir kenarı ile dikdörtgenin diğer kenarı arasındaki açıdır. Dikdörtgenin köşesi 90^\circ’dir. Bu durumda 124^\circ - 90^\circ = 34^\circ açı, karenin dışındaki bir açıdır.
Karenin iç köşesi ile dikdörtgenin uzantısı arasındaki açı 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ’dir.
Karenin köşesindeki açı 90^\circ’dir. Bu 56^\circ açı karenin bir kenarı ile dikdörtgenin kenarının uzantısı arasındaki açıdır. Bu durumda karenin diğer kenarı ile oluşan açı 90^\circ - 56^\circ = 34^\circ’dir.
Şimdi \alpha açısının bulunduğu köşeye tekrar bakalım. Karenin köşesi, eşkenar üçgenin köşesi ve \alpha açısı bir noktada birleşiyor.
Toplam bir nokta etrafındaki açı 360^\circ’dir.
- Karenin iç açısı: 90^\circ
- Eşkenar üçgenin iç açısı: 60^\circ
- Dikdörtgenin köşesi ile ilgili kısım: 34^\circ (bu açı karenin bir kenarı ile dikdörtgenin kenarının uzantısı arasındaki açıdır)
\alpha açısının olduğu köşede, karenin iç açısı ve eşkenar üçgenin iç açısı birleşmektedir. Bu iki açı ve \alpha açısı bir tam açıyı oluşturmaz. \alpha açısı bu iki şeklin arasında kalan açıdır.
Karenin ve eşkenar üçgenin aynı köşeden çıktığını varsayarsak, bu köşedeki açı 360^\circ’dir.
360^\circ = (\text{karenin iç açısı}) + (\text{eşkenar üçgenin iç açısı}) + \alpha
360^\circ = 90^\circ + 60^\circ + \alpha
360^\circ = 150^\circ + \alpha
\alpha = 360^\circ - 150^\circ
\alpha = 210^\circ
Ancak bu çözüm şekle göre mantıklı değil, çünkü \alpha açısı daha küçük bir açı gibi görünüyor.
Resimdeki açılar dış açılar olarak verilmiş veya yorumlanmıştır.
Şekildeki dikdörtgenin üst kenarı ile karenin üst kenarının kesiştiği noktadaki açı 124^\circ’dir. Dikdörtgenin iç açısı 90^\circ’dir.
Karenin üst sağ köşesini referans alalım.
Dikdörtgenin üst yatay kenarı ile karenin üst kenarı arasındaki açı 124^\circ’dir.
Bu durumda, karenin üst sağ iç köşesindeki açı, dikdörtgenin iç açısıyla birlikte düşünülmelidir.
Dikdörtgenin köşesi 90^\circ’dir. Karenin kenarı ile dikdörtgenin dış kenarı arasındaki açı 124^\circ ise, karenin iç açısı ile dikdörtgenin kenarının uzantısı arasındaki açı 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ’dir.
Bu 56^\circ açısı, karenin köşesinde yer alan açının bir parçasıdır. Karenin iç açısı 90^\circ olduğuna göre, bu köşede yer alan diğer açı 90^\circ - 56^\circ = 34^\circ’dir.
Bu 34^\circ açısı, karenin kenarı ile dikdörtgenin kenarı arasında kalan iç açıdır.
Şimdi \alpha açısının bulunduğu köşeye odaklanalım. Bu köşede kare ve eşkenar üçgen birleşmektedir.
Karenin iç açısı 90^\circ.
Eşkenar üçgenin iç açısı 60^\circ.
Bu problemde, tüm şekillerin bir kenarı aynı uzunlukta olduğu varsayılır (çünkü genellikle bu tür sorularda eşkenar üçgen, kare ve dikdörtgenin kenarları aynıdır).
Şekildeki açıları birleştirerek \alpha’yı bulmalıyız. Karenin üst sağ köşesindeki iç açı 90^\circ’dir.
124^\circ açısı, dikdörtgenin üst kenarının uzantısı ile karenin sağ üst kenarı arasındaki açıdır.
Bu durumda, karenin sağ üst köşesinin dışındaki açı 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ’dir.
Karenin sağ üst iç açısı 90^\circ’dir. Bu açının bir kısmı 56^\circ olduğuna göre, geriye kalan 90^\circ - 56^\circ = 34^\circ açı, karenin sağ üst köşesinin içinde ve dikdörtgenin dikey kenarı ile karenin üst kenarı arasında kalan açıdır.
Şimdi \alpha açısının olduğu noktaya gelelim. Bu noktada eşkenar üçgenin bir köşesi, karenin bir köşesi ve \alpha açısı bulunmaktadır.
Karenin bir iç açısı 90^\circ’dir. Eşkenar üçgenin bir iç açısı 60^\circ’dir.
Bu üçgen ve kare bir noktada birleştiğinde, o noktadaki toplam açı 360^\circ olmalıdır.
\alpha açısı, karenin bir kenarı ile eşkenar üçgenin bir kenarı arasında oluşan dış açıdır.
Şekildeki çizime göre, karenin sol alt köşesi ve eşkenar üçgenin üst köşesi birleşmektedir.
Bu birleşim noktasındaki açılar:
- Karenin iç açısı: 90^\circ
- Eşkenar üçgenin iç açısı: 60^\circ
- Karenin üst kenarı ile eşkenar üçgenin sol kenarı arasındaki açı \alpha’dır.
Şimdi genel bir referans noktası oluşturalım. Dikdörtgenin üst kenarının yatay olduğunu varsayalım.
Karenin üst kenarının bu yatay kenarla yaptığı açı 124^\circ olarak verilmiş. Bu 124^\circ dış açıdır.
Karenin üst sağ köşesindeki iç açı 90^\circ’dir.
Dikdörtgenin yatay kenarına paralel bir çizgi çizersek, karenin üst kenarı ile bu yatay çizgi arasındaki açı 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ’dir.
Karenin sol alt köşesi ile eşkenar üçgenin üst köşesi birleşmektedir.
Bu noktadaki açıların toplamı 360^\circ olmalıdır.
Karenin iç açısı 90^\circ.
Eşkenar üçgenin iç açısı 60^\circ.
\alpha açısı bu iki şeklin arasında kalan açıdır.
Bu durumda:
360^\circ = 90^\circ + 60^\circ + \alpha + (\text{karenin diğer kenarı ile oluşan açı})
Bu şekilde çözüm zorlaşır. Şekli daha dikkatli yorumlayalım.
124^\circ açısı, dikdörtgenin üst kenarı (yatay) ile karenin üst kenarı arasındaki açıdır.
Bu durumda, karenin üst kenarının yatay çizgiyle yaptığı açı 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ’dir.
Karenin sağ üst köşesindeki iç açıyı düşünürsek: karenin kenarı dikey eksenle 56^\circ açı yapıyorsa, yatay eksenle 90^\circ - 56^\circ = 34^\circ açı yapar.
Yani karenin kenarı, yatay eksene göre 34^\circ eğimlidir.
Şimdi \alpha açısının olduğu köşeye gelelim.
Karenin sol alt kenarı ile yatay eksen arasında oluşan açı 34^\circ’dir. (Z kuralından veya paralellikten dolayı)
Eşkenar üçgenin bir iç açısı 60^\circ’dir.
Eşkenar üçgenin üst köşesi, karenin sol alt köşesiyle birleşmektedir.
Karenin alt kenarı ile eşkenar üçgenin sol kenarı arasındaki açı \alpha’dır.
Karenin sol alt iç köşesini düşünelim. Bu köşede karenin iç açısı 90^\circ’dir.
Karenin alt kenarı yatay eksenle 34^\circ açı yapıyorsa, bu kenarın uzantısı ile eşkenar üçgenin kenarı arasındaki açıya bakalım.
Eşkenar üçgenin tabanı yatay çizgide duruyor. Yani eşkenar üçgenin tabanı yataydır.
Eşkenar üçgenin sol üst köşesindeki iç açı 60^\circ’dir.
Eşkenar üçgenin üst köşesinden bir yatay çizgi çekersek, sol kenarının bu yatay çizgiyle yaptığı açı 60^\circ’dir.
Karenin alt kenarı ise yatay eksenle 34^\circ açı yapmaktadır.
Bu durumda, karenin alt kenarı ile eşkenar üçgenin sol kenarı arasındaki açı \alpha’yı bulmak için bu iki açıyı kullanmalıyız.
Eşkenar üçgenin tabanı yatay olduğundan, üst köşedeki iç açı 60^\circ ve kenarları yatay ile 30^\circ açı yapar.
Eşkenar üçgenin sol kenarı yatay ile 60^\circ açı yapmaktadır.
Karenin alt kenarı yatay eksenle 34^\circ açı yapmaktadır.
\alpha açısı, eşkenar üçgenin sol kenarı ile karenin alt kenarı arasında kalan açıdır.
Bu durumda, \alpha = 60^\circ + 34^\circ = 94^\circ olmalıdır.
Ancak şekil ve 124^\circ açısı daha farklı yorumlanabilir.
124^\circ açısı, dikdörtgenin kenarı ile karenin kenarı arasındaki açıdır. Dikdörtgenin kenarları 90^\circ ile kesişir.
Karenin iç açısı 90^\circ.
Eşkenar üçgenin iç açısı 60^\circ.
Kare ile eşkenar üçgenin birleştiği nokta etrafındaki açılar:
Karenin iç açısının bir parçası, eşkenar üçgenin iç açısının bir parçası ve \alpha.
Karenin üst kenarının uzantısı ile dikdörtgenin alt kenarı arasındaki açı 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ’dir.
Bu 56^\circ açı, karenin köşesindeki açının bir kısmıdır.
Karenin iç açısı 90^\circ olduğu için, bu köşede karenin diğer kenarıyla oluşan açı 90^\circ - 56^\circ = 34^\circ’dir.
Yani karenin kenarları yatayla 34^\circ ve 56^\circ açı yapmaktadır.
Şimdi \alpha açısının olduğu köşeye gelelim. Karenin sol alt köşesi ve eşkenar üçgenin üst köşesi birleşiyor.
Eşkenar üçgenin bir iç açısı 60^\circ’dir.
Karenin kenarı yatay ile 34^\circ açı yapmaktadır.
\alpha açısı, eşkenar üçgenin sol kenarı ile karenin alt kenarı arasındaki açıdır.
Eşkenar üçgenin sol kenarı yatay ile 60^\circ açı yapar.
Karenin alt kenarı ise yatay ile 34^\circ açı yapar.
Bu durumda \alpha açısı, bu iki açının toplamı kadar olacaktır.
\alpha = 60^\circ + 34^\circ = 94^\circ.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 94
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tam Açı
- Tanım: Bir noktayı çevreleyen açılar toplamı 360^\circ’dir.
- Bu problemde: Çözüm sırasında şekillerin birleşim noktalarındaki açıları tamamlarken kullanıldı.
2. Dikdörtgen, Kare ve Eşkenar Üçgenin Özellikleri
- Tanım: Dikdörtgenin tüm iç açıları 90^\circ’dir. Karenin tüm kenarları eşit ve tüm iç açıları 90^\circ’dir. Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit ve tüm iç açıları 60^\circ’dir.
- Bu problemde: Bu temel geometrik şekillerin iç açı değerleri kullanılarak hesaplamalar yapıldı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Açıyı Yanlış Yorumlama
- Yanlış: Verilen 124^\circ’lik açının konumunu veya neyi ifade ettiğini yanlış anlamak. Örneğin, 124^\circ’yi karenin iç açısı gibi düşünmek.
- Doğru: 124^\circ açısının, dikdörtgenin kenarı ile karenin kenarı arasındaki dış açı olduğunu fark etmek ve bu bilgiyi kullanarak diğer açıları hesaplamak.
- Neden yanlış: Açının türünü (iç/dış, komşu/bütünler) yanlış anlamak, tüm takip eden hesaplamaların hatalı olmasına yol açar.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir geometri problemi çözmemi ister misin?