1.1. DİK UÇGENDE TRIGONOMETRII
ORANLAR VE TRIGONOMETRİK ÖZDESLIKLER- 8
5. Sortan Detman natamatk ttersinda t
pu ogrentzianne toig va Eer. e, Haza, C
Ias aiml 52rercinrba scr Ệcecep i
aluğuna gôre.
tnnla kscir
Hazal
Ke Rolmak izcre,
3+cas
Hdeninin en aode haini butuun
Bunw
2 41n
göre. hangi öárenci bu soruya doğru cevsk
2. sriiừ-cca 11"-1
tadcsinin esitini butunse
nirtle
bir dar açı almak üzere,
sinxoox-048
okuğuna göre, sinx * cosx itadesinin dağeri kcactr
Einx-cosk-LE* -3srrx
ifadesinin doğeri kaçtir?
<x* 9 ve eirx < oosx Dlriak ūzere,
25inx-coex --ginx-bosx
vgitiji veiliyor.
a ve b gerçek sayı olduğuna gôre a+b toplamıt kaçtı?
işleninln sonucu kactr?
Soru 1: \frac{3 + \cos^2 x}{2 + \sin x} İfadesinin En Sade Hâli
KULLANILAN FORMÜL: \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = 1 - \sin^2 x ve iki kare farkı özdeşliği a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \cos^2 x yerine sinüslü özdeşliği yazma
Pay kısmındaki \cos^2 x ifadesi yerine 1 - \sin^2 x yazılır:
3 + \cos^2 x = 3 + (1 - \sin^2 x) = 4 - \sin^2 x
Adım 2 — Payı iki kare farkı şeklinde çarpanlarına ayırma
4 - \sin^2 x ifadesi (2)^2 - (\sin x)^2 olduğundan çarpanlarına ayrılır:
4 - \sin^2 x = (2 - \sin x)(2 + \sin x)
Adım 3 — Sadeleştirme yapma
Pay ve paydadaki (2 + \sin x) ifadeleri sadeleştirilir:
\frac{(2 - \sin x)(2 + \sin x)}{2 + \sin x} = 2 - \sin x
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 2 - \sin x
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 2: \frac{\sin^2 10^\circ - \cos 10^\circ - 1}{-1 - \cos 10^\circ} İfadesinin Eşiti
KULLANILAN FORMÜL: \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \sin^2 10^\circ yerine kosinüslü eşiti yazma
Pay kısmında \sin^2 10^\circ yerine 1 - \cos^2 10^\circ yazılır:
(1 - \cos^2 10^\circ) - \cos 10^\circ - 1 = -\cos^2 10^\circ - \cos 10^\circ
Adım 2 — Payı ortak paranteze alma
Pay ifadesi -\cos 10^\circ parantezine alınır:
-\cos^2 10^\circ - \cos 10^\circ = -\cos 10^\circ(\cos 10^\circ + 1)
Adım 3 — Paydayı eksi parantezine alıp sadeleştirme
Payda: -1 - \cos 10^\circ = -(\cos 10^\circ + 1)
\frac{-\cos 10^\circ(\cos 10^\circ + 1)}{-(\cos 10^\circ + 1)} = \cos 10^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \cos 10^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 3: \sin^4 x - \cos^2 x - \cos^4 x - 3\sin^2 x İfadesinin Değeri
KULLANILAN FORMÜL: \sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) ve \sin^2 x + \cos^2 x = 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Dördüncü dereceden terimleri iki kare farkı ile açma
\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\underbrace{\sin^2 x + \cos^2 x}_{1}) = \sin^2 x - \cos^2 x
Adım 2 — İfadeleri birleştirip düzenleme
Elde edilen ifadeyi yerine yazalım:
(\sin^2 x - \cos^2 x) - \cos^2 x - 3\sin^2 x
= (\sin^2 x - 3\sin^2 x) + (-\cos^2 x - \cos^2 x)
= -2\sin^2 x - 2\cos^2 x
Adım 3 — Ortak çarpan parantezine alma
-2(\sin^2 x + \cos^2 x) = -2 \cdot 1 = -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 4: \frac{4\cos 73^\circ + 2\sin 17^\circ}{5\sin 17^\circ - \cos 73^\circ} İşleminin Sonucu
KULLANILAN FORMÜL: Birbirini 90^\circ’ye tamamlayan (tümler) açıların sinüsü kosinüsüne eşittir: \cos 73^\circ = \sin 17^\circ
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \cos 73^\circ yerine \sin 17^\circ yazma
- Pay: 4\sin 17^\circ + 2\sin 17^\circ = 6\sin 17^\circ
- Payda: 5\sin 17^\circ - \sin 17^\circ = 4\sin 17^\circ
Adım 2 — Sadeleştirme
\frac{6\sin 17^\circ}{4\sin 17^\circ} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \frac{3}{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 5: \tan x + \cot x = 7 ise \tan^2 x + \cot^2 x Değeri
KULLANILAN FORMÜL: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ve \tan x \cdot \cot x = 1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Her iki tarafın karesini alma
(\tan x + \cot x)^2 = 7^2
\tan^2 x + 2 \cdot (\tan x \cdot \cot x) + \cot^2 x = 49
Adım 2 — \tan x \cdot \cot x = 1 eşitliğini yerine yazma
\tan^2 x + 2(1) + \cot^2 x = 49
\tan^2 x + \cot^2 x = 49 - 2 = 47
Adım 3 — Öğrenci cevabı ile eşleştirme
- Alper: 43
- Mert: 45
- Hazal: 47
- Öykü: 49
- Halise: 51
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Hazal (47)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 6: \sin x \cdot \cos x = 0{,}48 ise \sin x + \cos x Değeri
KULLANILAN FORMÜL: (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İfadenin karesini alma
(\sin x + \cos x)^2 = \underbrace{\sin^2 x + \cos^2 x}_{1} + 2(\sin x \cdot \cos x)
Adım 2 — Verilen değeri yerine yazma
(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2(0{,}48) = 1 + 0{,}96 = 1{,}96
Adım 3 — Karekök alma
x dar açı (0^\circ < x < 90^\circ) olduğundan \sin x > 0 ve \cos x > 0’dır, bu nedenle toplam pozitiftir:
\sin x + \cos x = \sqrt{1{,}96} = 1{,}4 = \frac{7}{5}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 1{,}4 (veya \frac{7}{5})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 7: \sqrt{1 - 2\sin x \cos x} = a\sin x - b\cos x ise a+b Toplamı
KULLANILAN FORMÜL: 1 - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2 ve \sqrt{u^2} = |u|
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Karekökün içini tam kare yapma
1 - 2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2
\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|
Adım 2 — Mutlak değer dışına çıkarma
Soruda 0^\circ < x < 90^\circ ve \sin x < \cos x verildiği için:
\sin x - \cos x < 0 \implies |\sin x - \cos x| = -(\sin x - \cos x) = -\sin x + \cos x
Adım 3 — Katsayıları eşitleme
-\sin x + \cos x = a\sin x - b\cos x
- \sin x’in katsayısı: a = -1
- \cos x’in katsayısı: -b = 1 \implies b = -1
Adım 4 — a + b toplamını bulma
a + b = (-1) + (-1) = -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: -2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Pisagor Özdeşliği: \sin^2 x + \cos^2 x = 1
- Tanjant-Kotanjant Çarpımı: \tan x \cdot \cot x = 1
- Tümler Açılar: x + y = 90^\circ \implies \sin x = \cos y ve \tan x = \cot y
- Karekökten Çıkarma: \sqrt{u^2} = |u| kuralında açının bölgesine ve işaretine mutlaka dikkat edilmelidir.
Bu sorulardan herhangi birinin çözüm adımını daha ayrıntılı incelememi veya benzer pekiştirme soruları hazırlamamı ister misin?