DİK ÜÇGEN
erden oluşan zemine çlzilen dbrtgenin kial
binkee
nkdr
ne isi de bu kacelerin koşeleree
Vei enkl siuolklac birbiine esit, mavi ve yeşl renk
uzunluktar ise dik kesişmektedir.
Verileniere göre
an boyali açinın ólçüsü kaç derecet
Aj 22.8
B) 30
C37
D) 45
E) 6
Sekl 1
e br çubuğa Şekil 1’deki gibi sabitleniş birip orta
kandan Sekil Zdoki gibi geridiinde epe açisir
içüsünün 90 olduu gôrluyor
Sekz
lp daha sonra Sekl 3elu gibi bie parçass qubua
paklde
geryo
Spks 3
Buna göre son durumda ipin kna parçasinn unun
parcasina orant kacbr?
A)
Sayfada yer alan iki geometri sorusunun adım adım çözümleri aşağıda sunulmuştur:
1. Soru (Üstteki Birim Kareli Dik Üçgen Sorusu)
Birim Kareli Zeminde Açı Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İkizkenar dik üçgende dar açılar 45^\circ’dir.
- Karşı/Komşu oranları ve dik üçgen Pisagor bağıntısı:c^2 = a^2 + b^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Uzunlukların İncelenmesi
Şekilde soldaki ortak köşeden çıkan iki adet kırmızı doğru parçası bulunmaktadır:
- Yatay kırmızı doğru parçası 4\text{ birim} uzunluğundadır.
- Kırmızı uzunluklar birbirine eşit verildiğinden, üstteki kırmızı doğru parçasının uzunluğu da yatay parçaya eşittir.
- Tepe noktasından indirilen yükseklik ve oluşturulan dik üçgenler incelendiğinde; mavi ve yeşil doğruların dik kesişmesi (90^\circ) ve kenar simetrisi gereği sarı açının bulunduğu üçgensel bölge ikizkenar dik üçgen karakteristiği gösterir.
Adım 2 — Açının Belirlenmesi
Kırmızı kolların eşitliği ve dik izdüşümler dikkate alındığında, tepe açısını oluşturan dik bileşenler eşit uzunluklara (k ve k) dağılmakta olup:
\tan(\alpha) = 1 \implies \alpha = 45^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D — 45^\circ
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2. Soru (Alttaki İp ve Çubuk Sorusu)
Katlanan İp ve Pisagor Bağıntısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İkizkenar dik üçgen kuralı: Kenarlar L, L ise hipotenüs L\sqrt{2} olur.
- Pisagor Teoremi:a^2 + b^2 = c^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İpin Boyunu ve Sabit Mesafeyi Belirleme
- İpin toplam uzunluğuna 2L diyelim.
- Şekil 2’de ip orta noktasından gerildiğinde iki eşit parça oluşur ve her bir parçanın uzunluğu L olur.
- Tepe açısı 90^\circ olan ikizkenar dik üçgende hipotenüs, yani çubuk üzerindeki sabit iki nokta arasındaki mesafe:\text{Taban} = L\sqrt{2}
Adım 2 — Şekil 3’teki Dik Üçgeni Kurma
- Şekil 3’te ipin kısa parçası çubuğa dik konumdadır. Bu kısa parçanın uzunluğuna x diyelim.
- İpin toplam boyu değişmeyeceğinden (2L), geriye kalan uzun parçanın boyu:\text{Uzun Parça} = 2L - x
- Çubuk üzerindeki iki nokta arasındaki mesafe sabit olup L\sqrt{2}'dir.
Adım 3 — Pisagor Teoremini Uygulama
Oluşan dik üçgende Pisagor teoremini uygulayalım:
x^2 + (L\sqrt{2})^2 = (2L - x)^2
Parantez karesini açalım:
x^2 + 2L^2 = 4L^2 - 4Lx + x^2
Eşitliğin her iki yanındaki x^2 terimlerini sadeleştirelim:
2L^2 = 4L^2 - 4Lx
4Lx = 2L^2
x = \frac{2L^2}{4L} = \frac{1}{2}L
Adım 4 — Parçaların Oranını Bulma
- Kısa parça: x = \frac{1}{2}L
- Uzun parça: 2L - x = 2L - \frac{1}{2}L = \frac{3}{2}L
İstenen oran:
\text{Oran} = \frac{\text{Kısa Parça}}{\text{Uzun Parça}} = \frac{\frac{1}{2}L}{\frac{3}{2}L} = \frac{1}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B — \frac{1}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Bu soruda ipin toplam uzunluğunun korunduğu mantığıyla birleşmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Şekil 3’te ipin boyunun değiştiğini düşünerek hipotenüse doğrudan L veya 2L demek.- Doğru Yaklaşım: İpin toplam boyunun (2L) sabit kaldığını, dolayısıyla hipotenüsün 2L - x olduğunu fark etmek.
Benzer bir Pisagor ve katlama/uzunluk sorusu çözerek bu konuyu daha da pekiştirmek ister misin?