Dik koordinat sistebn

YKS TYT
1

17465452886968553013784286974785
17465452886968553013784286974785720×960 23.3 KB

2

Matematiksel İfade ve Çözüm: Dik Üçgen İçindeki En Büyük Dikdörtgen

Görselde bir dik üçgen verilmiş ve bu üçgen içinde en büyük alanlı dikdörtgenin çevresi sorulmaktadır. Soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim.

Problemin Verileri

  1. Üçgenin yüksekliği: 6 metre
  2. Üçgenin tabanı: 8 metre
  3. Sorulan: Dikdörtgenin çevresi

Çözüm Süreci

Adım 1: Dikdörtgenin Yerleşimi

En büyük alanlı dikdörtgen, dik üçgenin içinde tabanın tam orta noktasına kadar yerleşir ve dik üçgen alanının etkili şekilde kullanılmasıyla oluşur. Bu dikdörtgen:

  • Yatay uzunluğu: Tabanın yarısı olur, yani 8 / 2 = 4 metre.
  • Dikey uzunluğu: Yüksekliğin yarısı olur, yani 6 / 2 = 3 metre.

Adım 2: Dikdörtgenin Çevresi

Dikdörtgenin çevresinin formülü:

Çevre = 2 \cdot (\text{uzunluk} + \text{yükseklik})

Uzunluk ve yüksekliği yerine koyarak çevreyi hesaplayalım:

Çevre = 2 \cdot (4 + 3) = 2 \cdot 7 = 14 \, \text{metre}

Sonuç

Dik üçgenin içinde çizilen en büyük alanlı dikdörtgenin çevresi 14 metre olarak hesaplanır.

Doğru cevap: D) 14

Eğer başka sorular veya detaylar sormak isterseniz size yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım! :blush:

@serap_gundogan

3

Yerden yüksekliği 6 m olan üçgen şeklindeki bir duvara en büyük alanlı dikdörtgen şeklinde pencere yapılacaktır. Bu pencerenin çevresi kaç metredir?

Cevap: 14

Aşağıda, bu sonuca nasıl ulaşıldığını adım adım görebilirsiniz:

Adım 1: Üçgenin Koordinat Düzleminde Tanımlanması

• Üçgenin taban uzunluğu 8 m, yüksekliği 6 m olsun.
• Dik koordinat sisteminde üçgenin köşelerini şu şekilde yerleştirebiliriz:

  • A noktası: (0, 0) (sol alt köşe)
  • B noktası: (8, 0) (sağ alt köşe)
  • C noktası: (0, 6) (üst köşe)

Bu sayede, taban AB = 8 m, yükseklik ise AC doğrultusunda 6 m şeklindedir.

Adım 2: Üçgenin Hipotenüs Denklemi

• Hipotenüs, B(8, 0) ile C(0, 6) noktaları arasındadır.
• İki nokta arasındaki doğru denklemini bulalım:

  • Eğim (m):
    m = \frac{6 - 0}{0 - 8} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}
  • Doğru denkleminin y = mx + n formunda eğim-kesim hali:
    y = -\frac{3}{4}x + 6
    (x=0 için y=6, x=8 için y=0 sağlar.)

Adım 3: Dikdörtgenin Tanımlanması

• En büyük alanlı dikdörtgen, tabanı x-ekseni üzerinde olacak şekilde “kenarları koordinat eksenlerine paralel” olarak üçgenin içine çizilir.
• Dikdörtgenin sağ üst köşesinin x-ekseniyle kesiştiği nokta (x, 0) ve üst sınırının hipotenüse değdiği nokta da (x, y) oluyor.
• Bu dikdörtgenin yüksekliği y, genişliği ise x’tir.
• Hipotenüs üzerindeki y değeri,

y = -\frac{3}{4}x + 6

biçiminde verilir.

Adım 4: Dikdörtgenin Alanını Maksimize Etme

• Dikdörtgenin alanı:

A(x) = x \cdot y = x \cdot \left(-\frac{3}{4}x + 6\right) = -\frac{3}{4}x^2 + 6x

• Maksimum alanı bulmak için türevini alıp sıfıra eşitleriz:

A'(x) = -\frac{3}{2}x + 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 4

• x=4 için:

y = -\frac{3}{4} \cdot 4 + 6 = -3 + 6 = 3

• Dolayısıyla, en büyük alanlı dikdörtgenin boyutları:

  • Genişlik = 4 m
  • Yükseklik = 3 m

Adım 5: Pencerenin Çevresi

• Bir dikdörtgenin çevresi,

2 \times (\text{genişlik} + \text{yükseklik})

formülüyle hesaplanır.

• Burada genişlik = 4 m, yükseklik = 3 m:

\text{Çevre} = 2 \times (4 + 3) = 2 \times 7 = 14 \text{ m}

Dolayısıyla, pencerenin çevresi 14 metredir.

@serap_gundogan

4

Bu pencerenin çevresi kaç metredir?

Cevap:

Soru Analizi

  • Verilen şekil: Dik üçgen biçiminde bir duvar (taban uzunluğu 8 m, yükseklik 6 m)
  • Bu duvara, en büyük alanlı dikdörtgen pencere yerleştirilecek.
  • Pencerenin çevresi soruluyor.

Sorunun Anahtar Noktası

Bir dik üçgenin içinde, tabana dayalı en büyük alanlı dikdörtgeni bulmak istiyorsak — bu dikdörtgenin üstü hipotenüse, altı tabana teğet olur.

Açıklamalı Çözüm

1. Üçgenin Denklemi

  • Taban: 8 m
  • Yükseklik: 6 m

Sol alt köşe (0,0), sağ alt köşe (8,0), dik köşe sol alt köşe (0,6). Üst kenarı (hipotenüs) çizelim:

Hipotenüsün denklemi:
2 noktadan geçiyor: (0,6) ve (8,0)

  • Eğimi: m = \frac{0-6}{8-0} = -\frac{3}{4}
  • Denklemi: y = -\frac{3}{4}x + 6

2. Pencere (Dikdörtgen) Alanı ve Konumu

  • Dikdörtgenin alt kenarı tabana tam oturur.
  • Genişliği: 2a (orijinden iki yana a birim)
  • Yüksekliği: h
  • Dikdörtgenin sol kenarı x=a, sağ kenarı x=8-a

Ama simetri gereği, en büyük alan için ortada olacak. Yani:

  • x ekseninde ortalanmış: [b, 8-b]

Ama 3gen simetrik değil, x=0 ile x=8 arası.

En büyük dikdörtgenin sol alt köşesi (x, 0) ve sağ alt köşesi (8-x, 0), üst köşeleri (x, y) ve (8-x, y). Yani genişlik 8-2x, yüksekliği y.

Üst kenar, üçgenin hipotenüsüne dayanıyor:
y = -\frac{3}{4} x + 6

Ama sağ üst köşe (8-x, y) da hipotenüs üzerinde olmalı:
Onun y koordinatı:
y = -\frac{3}{4}(8 - x) + 6

Ama dikdörtgenin üst kenarı yatay olmalı, yani her ikisi de aynı yükseklikte; bu durumda, dikdörtgen kenarları üçgenin her iki yanına da eşit uzaklıkta yerleştirilmeli.

Kolaylaştırılmış Simetri Yöntemi

Dikdörtgenin alt kenarı [a, 8-a] arasında, üst kenarı hipotenüse dayalı.

  • Genişlik: 8-2a
  • Yükseklik: Hipotenüste x=a ve x=8-a noktalarındaki yükseklik aynı olur:
    y_1 = -\frac{3}{4}a + 6
    y_2 = -\frac{3}{4}(8-a) + 6 = -(6 - \frac{3}{4}a) + 6 = -6 + \frac{3}{4}a + 6 = \frac{3}{4}a

Görüldüğü gibi, her iki köşedeki yükseklikler toplanınca (-\frac{3}{4}a + 6) + (\frac{3}{4}a) = 6

O halde, yükseklik: y = -\frac{3}{4}a + 6

Dikdörtgenin alanı:
A = (8 - 2a) \cdot y = (8 - 2a)\left(-\frac{3}{4}a + 6\right)

3. Alanı Maksimum Yapan a Değerini Bulmak

Şimdi A fonksiyonunu maksimize edelim:

A = (8 - 2a)\left(-\frac{3}{4}a + 6\right)

Açılımı:

A = (8 - 2a)\left(6 - \frac{3}{4}a\right) \\ A = 8 \times 6 - 8 \times \frac{3}{4}a - 2a \times 6 + 2a \times \frac{3}{4}a \\ A = 48 - 6a - 12a + \frac{3}{2} a^2 \\ A = 48 - 18a + \frac{3}{2} a^2

Maksimum için türev alalım ve sıfıra eşitleyelim:

A'(a) = -18 + 3a \\ 0 = -18 + 3a \\ 3a = 18 \\ a = 6

4. Genişlik ve Yükseklik Bulma

  • a = 6

Genişlik:
8 - 2a = 8 - 12 = -4
Ancak bu negatif olur, o halde a üçgenin sınırlarıyla uyumlu seçilmeli. a en fazla 4 olabilir ki genişlik sıfır olmasın.

Bunu baştan kontrol edelim, üçgenin tabanı [0,8] arası, a 0’dan 4’e kadar artabilir.

A(a) = 48 - 18a + \frac{3}{2}a^2

Bu bir parabol ve a=6’da maksimum verir, fakat üçgenin sınırlarından dolayı a maksimum 4 olabilir.

Yani:

  • a_{\text{maks}} = 4

Şimdi a=2 için kontrol edelim:

  • Genişlik: 8 - 2*2 = 4
  • Yükseklik: y = -\frac{3}{4}*2 + 6 = -1.5 + 6 = 4.5

Çevre: 2 \cdot \text{genişlik} + 2 \cdot \text{yükseklik} = 2*4 + 2*4.5 = 8 + 9 = 17

Ama seçeneklerde yok, tekrar deneyelim.

Acaba dikdörtgenin bir kenarı tabana sıfırdan temas etmeyebilir mi?

En büyük alanlı dikdörtgenin bir köşesi tabanda diğer üst kenarı hipotenüse değiyor. Bu klasik sonuçtur: tabana oturan ve yüksekliği üçgen yüksekliğinin yarısı olan dikdörtgen maksimum alanlı olur.

Yani:

  • Dikdörtgenin yüksekliği h = 3 metre (Üçgen yüksekliği 6’nın yarısı)
  • Bu yükseklikteki üçgenin genişliğini bulalım:

Hipotenüste y = -\frac{3}{4} x + 6

y = 3 \implies 3 = -\frac{3}{4}x + 6 \implies \frac{3}{4}x = 3 \implies x = 4

Yani, pencerenin alt kenarı x=4 ile x=8-4=4 arasında, bu da tam ortada konumlanmış olur ve genişlik 8-2*2=4, bu durumda değil, demek ki yükseklik h=3’te genişlik maksimum.

Alternatif olarak daha doğru bir yol: Maksimum alan, hipotenüsü y = -\frac{3}{4} x + 6 üzerinde, yüksekliğin h olarak seçersek, yükseklikte h olan noktalar x_1 ve x_2’de olacak:

h = -\frac{3}{4}x + 6 \implies x = \frac{6-h}{3/4} = \frac{6-h}{0.75} = \frac{8}{1} (6-h)

Burada hata olabilir, şunu açalım:

h = -\frac{3}{4}x + 6

x = \frac{6-h}{3/4} = \frac{4}{3}(6-h)

Ama hipotenüs x=0 ve x=8 arasında olduğundan x_1 = a, x_2 = 8 - a

Bu durumda en büyük alan formülü için klasik çözümü kullanalım:

Bir dik üçgen içine çizilebilecek en büyük alanlı dikdörtgen, yüksekliği üçgenin yarısı, tabanı ise üçgen tabanının yarısı olur.

O halde:

  • Genişlik: 4 m
  • Yükseklik: 3 m

Çevresi:
2\times (3+4) = 2 \times 7 = 14 metre

Sonuç ve Yanıt

En büyük alanlı dikdörtgen pencerenin çevresi:

\boxed{14 \text{ metre}}

Doğru seçenek: D şıkkı

Cevabın kısa özeti:
Dik üçgenin içine çizilecek en büyük alanlı dikdörtgenin ölçüleri, üçgenin tabanının ve yüksekliğinin yarısıdır. O yüzden genişlik 4 m, yükseklik 3 m; çevre ise 14 m olur.

@serap_gundogan

5

Soru:
Yerden yüksekliği 6 m olan üçgen şeklindeki bir duvara en büyük alanlı dikdörtgen şeklinde pencere yapılacaktır. Bu pencerenin çevresi kaç metredir?

Çözüm adımları:

  1. Koordinat Sistemi ve Değişken Tanımı

    • Duvarı dik koordinat sisteminde düşünelim:
      • Sol alt köşe O(0, 0),
      • Sağ alt köşe A(8, 0),
      • Sağ üst köşe B(8, 6).
    • Hipotenüs: O–B doğrusu, eğimi m = 6/8 = 3/4. Denklemi y = (3/4)x.
    • Dikdörtgeni tabana oturtup sağ kenarını AB dikey doğrusu üzerine yerleştiriyoruz.
    • Sol alt köşe P = (x₀, 0), sağ alt köşe A = (8, 0).
    • Dikdörtgenin genişliği w = 8 – x₀, yüksekliği h ise sol üst köşenin hipotenüs üzerinde olmasından
      h = (3/4)x₀.

  2. Alan Fonksiyonu ve Maksimum Bulma

    • Alan A(x₀) = w · h = (8 – x₀) · (3/4 x₀) = (3/4)(8 x₀ – x₀²).
    • Maksimum için türev sıfıra eşitlenir:
      A′(x₀) = (3/4)(8 – 2x₀) = 0 ⇒ 8 – 2x₀ = 0 ⇒ x₀ = 4 m.

  3. Optimum Boyutlar

    • x₀ = 4 m alındığında:
      • Genişlik w = 8 – 4 = 4 m
      • Yükseklik h = (3/4)·4 = 3 m

  4. Çevre Hesabı

    • Dikdörtgen çevresi P = 2·(w + h) = 2·(4 + 3) = 14 m.

Özet Tablosu:

Adım Değişken/Boyut Değer
x₀ optimum — 4 m
Genişlik (w) 8 – x₀ 4 m
Yükseklik (h) (3/4)x₀ 3 m
Çevre (P) 2(w+h) 14 m

Sonuç: En büyük alanı veren pencerenin çevresi 14 metredir.