Dik koordinat düzleminde y = x^2 - 6x + 14 parabolü ile bir köşesi bu parabolün tepe noktası, başka bir köşesi bu parabolün y eksenini kestiği nokta olan ABCD dikdörtgeni şekilde gösterilmiştir.
Buna göre ABCD dikdörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 27
B) 30
C) 36
D) 39
E) 42
y = x^2 - 6x + 14 Parabolü Üzerindeki ABCD Dikdörtgeninin Alanının Bulunması
KULLANILAN FORMÜLLER / KURALLAR:
- Parabolün Tepe Noktası: f(x) = ax^2 + bx + c parabolü için tepe noktası T(r, k) olup koordinatları r = -\frac{b}{2a} ve k = f(r) formülleriyle bulunur.
- y Eksenini Kestiği Nokta: x = 0 yazılarak y = f(0) değeri hesaplanır.
- Dikdörtgenin Alanı: \text{Alan} = \text{Kısa Kenar} \times \text{Uzun Kenar}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Parabolün Tepe Noktasının (B Noktası) Koordinatlarını Bulma
Verilen parabol denklemi y = x^2 - 6x + 14 olduğuna göre katsayılar a = 1, b = -6, c = 14 olur:
r = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3
Tepe noktasının ordinatını (k) bulmak için denklemde x = 3 yazılır:
k = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 14 = 9 - 18 + 14 = 5
Böylece parabolün tepe noktası olan B noktasının koordinatları B(3, 5) olarak bulunur.
Adım 2 — Parabolün y Eksenini Kestiği Noktanın (D Noktası) Koordinatlarını Bulma
Parabolün y eksenini kestiği D noktasını bulmak için x = 0 yazılır:
y = f(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 14 = 14
Böylece D noktasının koordinatları D(0, 14) olur.
Adım 3 — ABCD Dikdörtgeninin Kenar Uzunluklarını Belirleme
Şekle göre:
- A noktası y ekseni üzerinde ve B ile aynı hizada (y = 5) olduğundan A(0, 5) noktasındadır.
- B noktası tepe noktası olduğundan B(3, 5) noktasındadır.
- D noktası y ekseni üzerinde olduğundan D(0, 14) noktasındadır.
Buna göre:
- Yatay Kenar (|AB|): |3 - 0| = 3\text{ birim}
- Dikey Kenar (|AD|): |14 - 5| = 9\text{ birim}
Adım 4 — Dikdörtgenin Alanını Hesaplama
\text{Alan}(ABCD) = |AB| \times |AD| = 3 \times 9 = 27\text{ birimkare}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 27
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Parabolün Tepe Noktası
- Tanım: Bir parabolün aldığı en küçük veya en büyük değerin gerçekleştiği simetri ekseni üzerindeki tepe noktasıdır (T(r, k)).
- Bu problemde: B noktası parabolün tepe noktası olup tabanın apsis uzunluğunu (r = 3) ve alt sınır yüksekliğini (k = 5) belirlemiştir.
2. y Eksenini Kestiği Nokta
- Tanım: Bir fonksiyon grafiğinin x = 0 doğrusu (yani y ekseni) ile kesiştiği noktadır.
- Bu problemde: D noktasının ordinatını (14) vererek dikdörtgenin üst kenar yüksekliğini sağlamıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Dikey Kenarı Doğrudan 14 Almak
- Yanlış: Dikey kenar uzunluğunu 14\text{ birim} alıp alanı 3 \times 14 = 42\text{ birimkare} bulmak.
- Doğru: Dikdörtgenin alt tabanı x ekseninde değil, y = 5 doğrusu üzerindedir. Dolayısıyla dikey kenar 14 - 5 = 9\text{ birim} olmalıdır.
- Neden yanlış: Dikdörtgenin alt kenarı orijinde (y = 0) başlamamaktadır; tepe noktasının ordinatı kadar (5\text{ birim}) yukarıdadır.
Benzer tipte parabol ve analitik geometri sorularıyla pratik yapmaya devam etmek ister misin?