Dik koordinat düzleminde x eksenine (5, 0) noktasında teğet olan ve iki sarı dikdörtgenin birer köşesinden geçen bir f parabolü aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Taralı dikdörtgenlerin alanları toplamı 114 birimkare olduğuna göre A noktasının ordinatı kaçtır?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 40
E) 50
Parabol ve Dikdörtgen Alanları ile A Noktasının Ordinatını Bulma
KULLANILAN FORMÜLLER:
- x eksenine (r, 0) noktasında teğet olan parabol denklemi:f(x) = a(x - r)^2
- Dikdörtgenin Alanı:\text{Alan} = \text{Taban Genişliği} \times \text{Yükseklik}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Parabolün Denklemini Kurma
Parabol x eksenine (5, 0) noktasında teğet olduğundan tepe noktası T(5, 0)'dır.
f(x) = a(x - 5)^2
Adım 2 — Soldaki Dikdörtgenin Alanını a Cinsinden Bulma
- Taban: x = 0 ile x = 1 aralığında olup genişliği $1 - 0 = 1\text{ birim}$dir.
- Yükseklik: Parabol sol üst köşe olan A(0, f(0)) noktasından geçmektedir.f(0) = a(0 - 5)^2 = 25a
- Alan 1:\text{Alan}_1 = 1 \times 25a = 25a\text{ br}^2
Adım 3 — Sağdaki Dikdörtgenin Alanını a Cinsinden Bulma
- Taban: x = 9 ile x = 11 aralığında olup genişliği $11 - 9 = 2\text{ birim}$dir.
- Yükseklik: Parabol dikdörtgenin sol üst köşesi olan (9, f(9)) noktasından geçmektedir.f(9) = a(9 - 5)^2 = a(4)^2 = 16a
- Alan 2:\text{Alan}_2 = 2 \times 16a = 32a\text{ br}^2
Adım 4 — Alanlar Toplamını Kullanarak a Başkatsayısını Hesaplama
Taralı alanlar toplamı 114\text{ br}^2 olarak verilmiştir:
\text{Alan}_1 + \text{Alan}_2 = 25a + 32a = 57a
57a = 114
a = \frac{114}{57} = 2
Adım 5 — A Noktasının Ordinatını Bulma
A noktası parabolün y eksenini kestiği noktadır (x = 0):
y_A = f(0) = 25a = 25 \times 2 = 50
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 50
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Eksenlere Teğet Paraboller
- Tanım: Bir parabol x eksenine teğet ise tepe noktası x ekseni üzerindedir (k = 0) ve çift katlı köke sahiptir.
- Bu problemde: (5, 0) noktasında teğet olduğu için denklem doğrudan f(x) = a(x - 5)^2 biçiminde yazılmıştır.
2. Geometrik Şekil ve Fonksiyon İlişkisi
- Tanım: Analitik düzlemde fonksiyon grafiği üzerindeki herhangi bir (x, y) noktasında ordinat değeri (y), o noktadaki yüksekliği belirtir.
- Bu problemde: Dikdörtgenlerin yükseklikleri ilgili apsis değerlerinin fonksiyondaki görüntüleri (f(0) ve f(9)) ile belirlenmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Dikdörtgen Taban Genişliğini Yanlış Alma
- Yanlış: Sağdaki dikdörtgenin genişliğini 11 veya 9 birim olarak almak.
- Doğru: Genişlik iki sınır arasındaki farktır: 11 - 9 = 2\text{ birim}.
- Neden yanlış: Dikdörtgen orijinden başlamadığı için taban uzunluğu son değer ile ilk değerin farkı alınarak bulunur.
Benzer bir parabol ve alan ilişkisi sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?