Dik koordinat düzleminde x = 1 doğrusunu A noktasında kesen y = 3x² parabolü, B noktasında kesen y = x² parabolü ve C

YKS TYT
1

Dik koordinat düzleminde x = 1 doğrusunu A noktasında kesen y = 3x^2 parabolü, B noktasında kesen y = x^2 parabolü ve C noktasında kesen y = -2x^2 parabolü şekilde gösterilmiştir.
Buna göre \frac{|AB|}{|BC|} oranı kaçtır?
A) \frac{2}{3}
B) \frac{3}{4}
C) 1
D) \frac{3}{2}
E) 2

Dik koordinat düzleminde x = 1 doğrusunu A noktasında kesen y = 3x² parabolü, B...
Dik koordinat düzleminde x = 1 doğrusunu A noktasında kesen y = 3x² parabolü, B...800×873 69.3 KB

2

Dik Koordinat Düzleminde x = 1 Doğrusunu Kesen Paraboller Arasındaki Uzaklık Oranı

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:

  1. Doğru ile Eğrinin Kesişim Noktası: Bir eğri ile x = k doğrusunun kesişim noktasının ordinatını (y) bulmak için fonksiyonda x yerine k değeri yazılır:
    y = f(k)
  2. Aynı Düşey Doğru Üzerindeki İki Nokta Arasındaki Uzaklık: x koordinatları aynı olan (x_0, y_1) ve (x_0, y_2) noktaları arasındaki uzaklık:
    d = |y_1 - y_2|

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — A Noktasının Koordinatlarını Bulma
x = 1 doğrusu ile y = 3x^2 parabolünün kesişim noktası A noktasıdır. x = 1 değerini denklemde yerine yazalım:

y_A = 3 \cdot (1)^2 = 3 \cdot 1 = 3

Buradan A noktasının koordinatları A(1, 3) olur.

Adım 2 — B Noktasının Koordinatlarını Bulma
x = 1 doğrusu ile y = x^2 parabolünün kesişim noktası B noktasıdır. x = 1 değerini denklemde yerine yazalım:

y_B = (1)^2 = 1

Buradan B noktasının koordinatları B(1, 1) olur.

Adım 3 — C Noktasının Koordinatlarını Bulma
x = 1 doğrusu ile y = -2x^2 parabolünün kesişim noktası C noktasıdır. x = 1 değerini denklemde yerine yazalım:

y_C = -2 \cdot (1)^2 = -2 \cdot 1 = -2

Buradan C noktasının koordinatları C(1, -2) olur.

Adım 4 — |AB| ve |BC| Uzunluklarını Hesaplama
Tüm noktalar aynı düşey hat (x = 1 doğrusu) üzerinde yer aldığından, aralarındaki uzaklıklar y değerlerinin farkının mutlak değeridir:

  • |AB| = |y_A - y_B| = |3 - 1| = 2 \text{ birim}
  • |BC| = |y_B - y_C| = |1 - (-2)| = |1 + 2| = 3 \text{ birim}

Adım 5 — Oranı Bulma
Bizden istenen \frac{|AB|}{|BC|} oranını hesaplayalım:

\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{2}{3}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) \frac{2}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Kesişim Noktası Bulma

  • Tanım: İki geometrik şeklin kesiştiği noktada denklemler ortak çözülür. x = k düşey doğrusu verildiğinde doğrudan x yerine k yazılır.
  • Bu problemde: x = 1 değeri üç farklı parabol denklemine yazılarak A(1,3), B(1,1) ve C(1,-2) noktaları elde edildi.

2. Doğrusal Noktalar Arası Uzaklık

  • Tanım: Koordinat düzleminde aynı düşey doğru üzerindeki iki nokta arasındaki mesafe ordinatların farkıdır.
  • Bu problemde: B(1,1) ile C(1,-2) noktaları arasındaki uzaklık hesaplanırken negatif işaret dikkate alınarak |1 - (-2)| = 3 bulundu.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Negatif Ordinatı Çıkarırken İşaret Hatası Yapmak

  • Yanlış: |BC| = |1 - 2| = 1 şeklinde yazıp oranı \frac{2}{1} = 2 bulmak.
  • Doğru: |BC| = |1 - (-2)| = |1 + 2| = 3 olarak hesaplamak.
  • Neden yanlış: C noktasının ordinatı -2 olduğu için fark alınırken eksi ile eksi artıya dönüşür.

Bu soru tipini pekiştirmek için x = 2 doğrusu kesildiğinde oranların nasıl değişeceğini birlikte incelememizi ister misin?