Dik koodinat dürleminde verilen çeberin standart
denklenini bulunuz
Soru Fotoğrafı:
Dik koordinat düzleminde verilen çemberin standart denkleminin bulunması
KULLANILAN FORMÜL:
Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çemberin standart denklemi:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Çemberin Merkezinin x-koordinatını (a) Bulma
Görselde çemberin x eksenini kestiği noktalar -12 ve -2 olarak verilmiştir. Çemberin merkezinden x eksenine indirilen dikme, bu kirişi iki eş parçaya böler. Bu nedenle merkezin apsisi, bu iki noktanın orta noktasıdır:
a = \frac{-12 + (-2)}{2} = \frac{-14}{2} = -7
Adım 2 — Çemberin Yarıçapını (r) Bulma
Merkezin x ekseni üzerindeki izdüşümü -7 noktasıdır. Bu noktadan kirişin uç noktalarından birine (örneğin -2 noktasına) olan uzaklık, merkezden indirilen dikmenin kiriş üzerindeki bir parçasıdır:
\text{Kirişin yarısı} = |-2 - (-7)| = 5 \text{ birim}
Çemberin y eksenini kestiği nokta 4 olarak verilmiştir (0, 4 noktası). Ancak merkez koordinatlarını ve yarıçapı netleştirmek için kuvvet özelliğini veya dik üçgeni kullanalım. Merkez M(-7, b) olsun. Çember üzerindeki (-2, 0) ve (0, 4) noktaları denklemi sağlamalıdır:
- (-2+7)^2 + (0-b)^2 = r^2 \Rightarrow 25 + b^2 = r^2
- (0+7)^2 + (4-b)^2 = r^2 \Rightarrow 49 + 16 - 8b + b^2 = r^2
Bu iki ifadeyi birbirine eşitleyelim:
25 + b^2 = 65 - 8b + b^2
8b = 40 \Rightarrow b = 5
Adım 3 — Yarıçap Uzunluğunu (r^2) Hesaplama
Bulduğumuz b=5 değerini ilk denklemde yerine koyalım:
r^2 = 25 + 5^2 = 25 + 25 = 50
Buradan yarıçap r = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} birim bulunur.
Adım 4 — Standart Denklemi Yazma
Merkez M(-7, 5) ve r^2 = 50 değerlerini standart formülde yerine yerleştirelim:
(x - (-7))^2 + (y - 5)^2 = 50
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
(x + 7)^2 + (y - 5)^2 = 50
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çemberin Standart Denklemi
- Tanım: Bir düzlemde sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıktaki (yarıçap) noktalar kümesinin cebirsel ifadesidir.
- Bu problemde: Merkezin koordinatlarını belirlemek için eksenleri kestiği noktalar kullanılmıştır.
2. Kiriş Özelliği
- Tanım: Merkezden kirişe indirilen dikme, kirişi ortalar.
- Bu problemde: x eksenini kestiği noktaların orta noktası olan -7, merkezin apsis değerini vermiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşaret Hatası
- Yanlış: (x - 7)^2 olarak yazmak.
- Doğru: Formül (x - a) şeklindedir, a = -7 olduğu için (x - (-7)) = (x + 7) olmalıdır.
- Neden Yanlış: Merkezin negatif bölgede olması, denklemde pozitif işaret oluşturur.
Bu çemberin genel denklemini (parantezleri açarak) bulmamı ister misin?