Dik koordinat düzleminde simetri ekseni y-ekseni olan bir parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 2

Question Answer
1

Dik koordinat düzleminde simetri ekseni y-ekseni olan bir parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 2 birimdir. Bu parabol y-eksenine paralel olacak biçimde 1 birim yukarı kaydırıldığında parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 10 birim oluyor.
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16

!

2

Parabol Ötelemesi ve Kökler Arası Uzaklık

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Simetri ekseni y-ekseni (x = 0) olan bir parabolün denklemi y = ax^2 + c biçimindedir. Parabol düşey doğrultuda k birim yukarı ötelendiğinde yeni denklem y = ax^2 + c + k olur.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — İlk Parabolün Denklemini Belirleme
Parabol y-eksenine göre simetrik olduğundan tepe noktası y-ekseni üzerindedir ve x-eksenini kestiği noktalar orijine eşit uzaklıktadır. Kökler arası uzaklık 2 birim olduğuna göre kökler x = -1 ve x = 1’dir.

y = a(x^2 - 1) = ax^2 - a

Adım 2 — Parabolü 1 Birim Yukarı Öteleme ve a Katsayısını Bulma
Parabol 1 birim yukarı kaydırıldığında denklemi y = ax^2 - a + 1 olur. Bu durumda kökler arasındaki uzaklık 10 birim olduğundan kökler x = -5 ve x = 5 olmalıdır. x = 5 değerini denklemde yerine yazarak sıfıra eşitleyelim:

a(5)^2 - a + 1 = 0 \implies 25a - a + 1 = 0 \implies 24a = -1 \implies a = -\frac{1}{24}

Adım 3 — 1 Birim Daha Yukarı Öteleme ve Yeni Kökleri Bulma
Parabol başlangıçtaki durumuna göre toplam 2 birim yukarı ötelenmiş olur. Yeni denklem:

y = ax^2 - a + 2 = 0 \implies ax^2 = a - 2 \implies x^2 = \frac{a - 2}{a} = 1 - \frac{2}{a}

Bulunan a = -\frac{1}{24} değerini yerine yazalım:

x^2 = 1 - \frac{2}{-\frac{1}{24}} = 1 + 48 = 49 \implies x = \pm 7

Kökler x_1 = -7 ve x_2 = 7 olduğundan, kesim noktaları arasındaki uzaklık:

|x_2 - x_1| = 7 - (-7) = 14 \text{ birim}

:white_check_mark: CEVAP: C) 14 (Kökler arası uzaklık 14 birimdir)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Parabol yukarı ötelendikçe kökler arasındaki uzaklık artıyorsa parabolün kolları aşağı yönlüdür (a < 0). Kökler simetrik olduğu için x^2 teriminin katsayısı doğrudan kök kareleri arasındaki doğrusal artışı (1 \to 25 \to 49) belirler.