Dik koordinat düzleminde simetri ekseni y ekseni olan bir parabolü, y = 2 doğrusu aralarındaki uzaklık 6 birim olan iki noktada; y = 8 doğrusu ise aralarındaki uzaklık 10 birim olan iki noktada kesmektedir.
Buna göre y = 17 doğrusunun bu parabolü kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Parabol Denklemi ve Simetri Ekseni Özellikleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Simetri ekseni y ekseni (x = 0) olan parabollerin denklemi y = ax^2 + c biçimindedir. Yatay bir doğrunun simetrik bir parabolü kestiği noktalar arasındaki uzaklık 2|x| birimdir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Parabol Denklemini Belirleme ve Noktaları Yazma
Simetri ekseni y ekseni olduğundan parabolün tepe noktası y ekseni üzerindedir ve denklemi y = ax^2 + c şeklindedir.
- y = 2 doğrusu ile kesişen noktalar arası uzaklık 6 birim ise, apsisler simetriden dolayı x = -3 ve x = 3 olur:
a(3)^2 + c = 2 \implies 9a + c = 2
- y = 8 doğrusu ile kesişen noktalar arası uzaklık 10 birim ise, apsisler x = -5 ve x = 5 olur:
a(5)^2 + c = 8 \implies 25a + c = 8
Adım 2 — Katsayıları Bulma
Elde edilen iki denklemi taraf tarafa çıkararak a ve c sabitlerini hesaplayalım:
(25a + c) - (9a + c) = 8 - 2
16a = 6 \implies a = \frac{3}{8}
9\left(\frac{3}{8}\right) + c = 2 \implies c = 2 - \frac{27}{8} = -\frac{11}{8}
Böylece parabolün denklemi y = \frac{3}{8}x^2 - \frac{11}{8} olarak bulunur.
Adım 3 — y = 17 Doğrusu ile Kesişim Noktalarını ve Uzaklığı Bulma
Denklemde y = 17 yazılarak kesişim noktalarının apsisleri belirlenir:
17 = \frac{3}{8}x^2 - \frac{11}{8}
\frac{3}{8}x^2 = 17 + \frac{11}{8} = \frac{147}{8}
3x^2 = 147 \implies x^2 = 49 \implies x = \pm 7
Kesişim noktaları (-7, 17) ve (7, 17) olduğundan aralarındaki uzaklık:
|7 - (-7)| = 14 \text{ birim}
CEVAP: D) 14 (Kesişim noktaları arası uzaklık 14 birimdir)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Simetri ekseni y ekseni olan eğrilerde y = k yatay doğrularının kestiği noktalar y eksenine göre simetrik olacağından, apsisler daima \pm \frac{\text{uzaklık}}{2} kuralıyla doğrudan bulunabilir.