Dik koordinat düzleminde orijine göre simetrik fonksiyon ve integral hesabı

YKS TYT
1

Dik koordinat düzleminde grafiği orijine göre simetrik olan fonksiyonla ilgili

\int_{-1}^{1} x^2 dot f(x^3 + 1) dx = 6

eşitliği veriliyor.
Buna göre

$
\int_{-8}^{0} igg(2 + rac{f(rac{ 3 \sqrt{x})}{ 3 \sqrt{x^2}} igg) dx
$

integralinin değeri kaçtır?
A) -24
B) -30
C) -32
D) -36
E) -38

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli800×886 59.7 KB

2

Dik koordinat düzleminde orijine göre simetrik fonksiyon ve integral hesabı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:

  1. Tek Fonksiyon Özelliği: Orijine göre simetrik fonksiyonlar tek fonksiyondur. Bu durumda f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanır.
  2. Değişken Değiştirme Yöntemi: \int f(g(x)) \cdot g'(x) dx formundaki integrallerde u = g(x) dönüşümü yapılır.
  3. İntegral Parçalama: \int (a + b) dx = \int a dx + \int b dx.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Birinci integralin analizi ve değişken değiştirme
Verilen ilk integral: \int_{-1}^{1} x^2 \cdot f(x^3 + 1) dx = 6
Burada u = x^3 + 1 dönüşümü yapalım. Bu durumda du = 3x^2 dx olur, yani x^2 dx = \frac{du}{3} elde edilir.
Sınırları belirleyelim:

  • x = -1 için u = (-1)^3 + 1 = 0
  • x = 1 için u = (1)^3 + 1 = 2

Yeni integral: \int_{0}^{2} f(u) \frac{du}{3} = 6 \implies \int_{0}^{2} f(u) du = 18

Adım 2 — İkinci integrali parçalama
Sorulan integral: \int_{-8}^{0} \left( 2 + \frac{f(\sqrt[3]{x})}{\sqrt[3]{x^2}} \right) dx
İntegrali iki parçaya ayıralım:
I_1 = \int_{-8}^{0} 2 dx
I_2 = \int_{-8}^{0} \frac{f(\sqrt[3]{x})}{\sqrt[3]{x^2}} dx

Adım 3 — Parçaların hesaplanması
I_1 hesabı: [2x]_{-8}^{0} = 2(0) - 2(-8) = 16

I_2 hesabı için t = \sqrt[3]{x} = x^{1/3} dönüşümü yapalım.
dt = \frac{1}{3} x^{-2/3} dx = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} dx \implies \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} = 3dt
Sınırları belirleyelim:

  • x = -8 için t = \sqrt[3]{-8} = -2
  • x = 0 için t = \sqrt[3]{0} = 0

Yeni I_2: \int_{-2}^{0} f(t) \cdot 3dt = 3 \int_{-2}^{0} f(t) dt

Adım 4 — Tek fonksiyon özelliğini kullanma
f(x) orijine göre simetrik (tek) olduğu için \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 olur.
Bu durumda \int_{-2}^{0} f(t) dt + \int_{0}^{2} f(t) dt = 0 eşitliğinden;
\int_{-2}^{0} f(t) dt = -\int_{0}^{2} f(t) dt yazılabilir.
Adım 1’de \int_{0}^{2} f(u) du = 18 bulmuştuk. O halde \int_{-2}^{0} f(t) dt = -18 olur.

I_2 = 3 \cdot (-18) = -54

Adım 5 — Sonuçların toplanması
Toplam Değer = I_1 + I_2 = 16 + (-54) = -38

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: E) -38
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Orijine Göre Simetri

  • Tanım: Bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetrikse, bu fonksiyon f(-x) = -f(x) şartını sağlar.
  • Bu problemde: İntegral sınırları arasındaki geçişi sağlamak (negatif bölgedeki integral değerini bulmak) için kullanıldı.

2. Belirli İntegralde Değişken Değiştirme

  • Tanım: Karmaşık ifadeleri daha basit hale getirmek için u değişkeni atanmasıdır.
  • Bu problemde: \sqrt[3]{x} ve x^3+1 ifadelerini sadeleştirerek bilinen integral değerlerine ulaşıldı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Sabit Sayıyı Unutmak

  • Yanlış: Diferansiyel alırken du = 3x^2 dx ifadesindeki 3 kat sayısını integralin dışına \frac{1}{3} olarak atmayı unutmak sonucu hatalı çıkarır.
  • Doğru: Her zaman dx yalnız bırakılarak katsayılar kontrol edilmelidir.

:cross_mark: Simetriyi Yanlış Uygulamak

  • Yanlış: Orijine göre simetrik (tek) fonksiyonu, y eksenine göre simetrik (çift) fonksiyon gibi düşünerek \int_{-2}^0 f(x)dx = 18 kabul etmek.
  • Doğru: Tek fonksiyonlarda zıt işaretli bölgelerin integralleri birbirinin ters işaretlisidir.

Bu çözümde kullanılan değişken değiştirme adımları veya tek/çift fonksiyon özellikleri hakkında daha detaylı bir örnek ister misin?