Dik koordinat düzleminde O merkezli çeyrek çember ve bu çembere T(a, b) noktasında teğet olan bir d doğrusu şekildeki gibi çiziliyor.
Bu d doğrusunun x -eksenini kestiği nokta A(-18, 0) noktası ve çemberin yarıçapı 12 birimdir.
Buna göre, T noktasının apsisi kaçtır?
A) -8
B) -6
C) 4
D) 6
E) 8
Çemberde Teğet ve Öklid Bağıntısı ile Apsis Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir çemberin teğeti, değme noktasında yarıçapa diktir (OT \perp d). Bir dik üçgende hipotenüse ait dikme indirildiğinde Öklid Teoremi (b^2 = p \cdot c) uygulanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Teğet-Yarıçap Dikliğini ve Uzunlukları Belirleme
Merkez O(0, 0) noktasından teğet noktası T(a, b)'ye çizilen yarıçap, d teğet doğrusuna diktir. Çemberin yarıçapı r = 12 birim ve A noktasının koordinatı (-18, 0) olduğundan:
|OT| = 12 \text{ birim}, \quad |OA| = 18 \text{ birim}, \quad [OT] \perp [AT]
Adım 2 — T Noktasından x-Eksenine Dikme İndirerek Öklid Bağıntısını Uygulama
T(a, b) noktasından x-eksenine indirilen dikmenin ayağı H(a, 0) olsun. OTA dik üçgeninde [TH] \perp [OA] olup Öklid’in kenar bağıntısı geçerlidir:
|OT|^2 = |OH| \cdot |OA|
12^2 = |OH| \cdot 18
144 = 18 \cdot |OH| \implies |OH| = 8 \text{ birim}
Adım 3 — Apsis Değerini Belirleme
T(a, b) noktası analitik düzlemin II. bölgesinde ve H noktası negatif x-ekseni üzerinde yer aldığından, T noktasının apsisi negatif değer alır:
a = -|OH| = -8
CEVAP: A) -8 (a = -8)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Analitik geometri sorularında çember teğeti görüldüğünde merkeze dik çizmek çoğu zaman bir dik üçgen ve Öklid bağıntısı oluşturur; noktanın bulunduğu bölgenin işaretine (a < 0) mutlaka dikkat edilmelidir.