Dik koordinat düzleminde kesişen doğrular ve K noktasının orijine uzaklığı

YKS TYT
1
  1. Dik koordinat düzleminde eğimleri m,. m, ve m, olan
    d,. d, ve d, doğrular X-eksenini sirasiyla -1,4 ve 17
    apsisli noktalarda kesmnektedir.
    K noktasında kesişen bu doğrular için
    • m, m, = -1
    Olduğuna göre K noktasının orijine uzaklığı kag
    birimdir?
    A) 5
    B) 10
    C) 13
    D) 15
    E) 17

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 41 KB

2

Dik koordinat düzleminde kesişen doğrular ve K noktasının orijine uzaklığı

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]

  1. İki noktası (x_1, y_1) ve (x_2, y_2) bilinen doğrunun eğimi: m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
  2. Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı: m_a \cdot m_b = -1
  3. Orijine (0,0) olan uzaklık formülü: \sqrt{x^2 + y^2}

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Doğruların Denklemlerini ve K Noktasını Tanımlama
d_1, d_2 ve d_3 doğruları x-eksenini sırasıyla A(-1, 0), B(4, 0) ve C(17, 0) noktalarında kesmektedir. Bu üç doğru K(a, b) noktasında kesiştiğine göre, her bir doğrunun eğimini K noktası ve ekseni kestikleri noktalar üzerinden yazalım:

  • m_1 = \frac{b - 0}{a - (-1)} = \frac{b}{a + 1}
  • m_2 = \frac{b - 0}{a - 4} = \frac{b}{a - 4}
  • m_3 = \frac{b - 0}{a - 17} = \frac{b}{a - 17}

Adım 2 — Diklik Şartını Kullanarak K Noktasının Koordinatlarını Bulma
Soruda verilen ikinci bilgiye göre m_2 \cdot m_3 = -1 (bu iki doğru birbirine diktir).

\frac{b}{a - 4} \cdot \frac{b}{a - 17} = -1 \implies b^2 = -(a - 4)(a - 17)
b^2 = -(a^2 - 21a + 68) = -a^2 + 21a - 68 \quad \dots \text{(Denklem 1)}

Soruda verilen ilk bilgiye göre m_1 \cdot m_2 = 1 (görselde m_1 \cdot m_2 = 1 olarak görünmektedir).

\frac{b}{a + 1} \cdot \frac{b}{a - 4} = 1 \implies b^2 = (a + 1)(a - 4)
b^2 = a^2 - 3a - 4 \quad \dots \text{(Denklem 2)}

Adım 3 — Denklemleri Eşitleyerek ‘a’ Değerini Hesaplama
İki denklemde de b^2 değerlerini birbirine eşitleyelim:

-a^2 + 21a - 68 = a^2 - 3a - 4
2a^2 - 24a + 64 = 0
a^2 - 12a + 32 = 0
(a - 8)(a - 4) = 0

a = 4 olamaz (çünkü payda sıfır olur), bu yüzden a = 8 birimdir.

Adım 4 — ‘b’ Değerini ve Orijine Uzaklığı Hesaplama
a = 8 değerini Denklem 2’de yerine koyalım:

b^2 = 8^2 - 3(8) - 4 = 64 - 24 - 4 = 36

b = 6 (veya -6) birimdir.
K noktasının koordinatları K(8, 6) olur. Orijine (0,0) olan uzaklık:

OK = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 10 birim (B Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Eğimi Bilinen Doğru Denklemi

  • [Tanım:] Bir doğrunun üzerindeki iki nokta biliniyorsa, y değerleri farkının x değerleri farkına oranı eğimi verir.
  • [Bu problemde:] K noktası tüm doğruların ortak noktası olduğu için eğimler bu nokta üzerinden hesaplanmıştır.

2. Dik Kesişme Şartı

  • [Tanım:] İki doğru birbirine dikse eğimleri çarpımı -1’dir.
  • [Bu problemde:] d_2 ve d_3 doğrularının dikliği b^2 için ilk bağıntıyı kurmamızı sağlamıştır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Paydayı Sıfır Yapan Değer

  • [Yanlış:] İkinci dereceden denklem çözümünde çıkan a=4 değerini kabul etmek.
  • [Doğru:] a=4 noktası d_2 doğrusunun x eksenini kestiği nokta olduğundan, K noktasının apsisi 4 olursa doğru düşey hale gelir ve eğim tanımsız olur.
  • [Neden yanlış:] Tanım kümeleri ve geometrik olasılıklar her zaman kontrol edilmelidir.

Bu soruda m_1 \cdot m_2 = 1 bilgisini kullanarak farklı bir bağıntı kurduk; bu bilgi değişirse K noktasının yeri de değişirdi. Bu tarz geometrik yer problemlerinde başka bir örnek çözmemi ister misin?