Dik koordinat düzleminde gerçel sayılar kümesi üzerinde
tanımlı ikinci dereceden f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
-2/
Buna göre,
f(x) > 3x
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam sayısı vardır?
A) 5
B) 6
c)7
D) 8
E) 9
Dik koordinat düzleminde verilen f fonksiyonu için f(x) ≥ 3x eşitsizliğini sağlayan x tam sayıları
KULLANILAN FORMÜL:
İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) kökleri x_1 ve x_2 ise denklem:
$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$ şeklinde yazılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyonun Denklemini Bulma
Grafiğe baktığımızda parabolün x eksenini kestiği noktalar (kökler) -2 ve $6$’dır. y eksenini kestiği nokta ise $(0, 12)$’dir.
- Denklem: f(x) = a(x + 2)(x - 6)
- (0, 12) noktasını yerine koyalım: 12 = a(0 + 2)(0 - 6)
- 12 = -12a \implies a = -1
- Bu durumda fonksiyon: f(x) = -1(x^2 - 4x - 12) = -x^2 + 4x + 12 olur.
Adım 2 — Eşitsizliği Kurma ve Düzenleme
Soruda istenen eşitsizlik: f(x) \geq 3x
- -x^2 + 4x + 12 \geq 3x
- Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: -x^2 + x + 12 \geq 0
- Eşitsizliği daha kolay çözmek için -1 ile çarpalım (eşitsizlik yön değiştirir): x^2 - x - 12 \leq 0
Adım 3 — Eşitsizliğin Çözüm Kümesini Belirleme
x^2 - x - 12 ifadesini çarpanlarına ayıralım:
- (x - 4)(x + 3) \leq 0
- Kökler: x = 4 ve x = -3
- İşaret tablosunu incelediğimizde (baş katsayı pozitif olduğu için + , - , + şeklinde gider), çözüm aralığı:
-3 \leq x \leq 4
Adım 4 — Tam Sayı Değerlerini Belirleme
-3 \leq x \leq 4 aralığındaki x tam sayıları:
\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}
Bu değerleri saydığımızda toplam 8 farklı tam sayı olduğunu görürüz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. İkinci Dereceden Fonksiyonlar
- Tanım: f(x) = ax^2 + bx + c formundaki fonksiyonlardır. Grafikleri parabol belirtir.
- Bu problemde: Grafikteki kesim noktalarını kullanarak bilinmeyen katsayıyı bulup eşitsizliği oluşturduk.
SIK YAPILAN HATALAR:
Eşitsizlik Yönü
- Yanlış: Negatif bir sayıya bölerken eşitsizliğin yönünü değiştirmemek.
- Doğru: -x^2 + x + 12 \geq 0 ifadesini x^2 - x - 12 \leq 0 şeklinde yazarken yön mutlaka değişmelidir.
- Neden yanlış: Yön değişmezse çözüm kümesi köklerin dış aralığı olarak bulunur ve yanlış sonuca gidilir.
Bu çözümde fonksiyonun tepe noktasını bulmamıza gerek kalmadan kökler üzerinden sonuca ulaştık. Benzer bir şekilde fonksiyonun alabileceği en büyük değeri (tepe noktasını) hesaplamamı ister misin?