Dik koordinat düzleminde gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyonunun grafiği verilmiştir

YKS TYT Forum
1

Dik koordinat düzleminde gerçel sayılar kümesi üzerinde
tanımlı f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre,
1820
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10

Soru Görseli
Soru Görseli918×800 56.4 KB

2

Dik koordinat düzleminde verilen f(x) fonksiyonuna göre eşitsizlik çözümü

:light_bulb: KULLANILAN KAVRAMLAR VE FORMÜL:
Bu soruyu çözmek için \frac{f(x)}{x} \geq 0 eşitsizliğinin işaret tablosunu oluşturmalıyız. Eşitsizliğin köklerini bulmak için hem payın (f(x)) hem de paydanın (x) köklerini inceleyeceğiz.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Fonksiyonun Köklerini Belirleme
Grafiğe baktığımızda f(x) fonksiyonunun x eksenini kestiği ve teğet olduğu noktalar kökleridir:

  • x = -3 noktasında grafik eksene teğet olduğu için bu bir çift katlı köktür.
  • x = 4 noktasında grafik ekseni kestiği için bu bir tek katlı köktür.
  • Paydanın kökü ise x = 0 noktasıdır (bu nokta paydayı tanımsız yaptığı için çözüm kümesine dahil edilmez).

Adım 2 — İşaret Tablosunu Hazırlama
Bulduğumuz kökleri küçükten büyüğe sıralayalım: -3 (çift katlı), 0 ve 4.

  • x > 4 için: Grafik x ekseninin altında olduğu için f(x) negatiftir (-). Payda (x) pozitiftir (+). Sonuç: (-) / (+) = (-).
  • 0 < x < 4 aralığında: Grafik eksenin üstünde (+), payda (+). Sonuç: (+) / (+) = (+).
  • -3 < x < 0 aralığında: Grafik eksenin üstünde (+), payda (-). Sonuç: (+) / (-) = (-).
  • x < -3 aralığında: Grafik eksenin üstünde (+) ve -3 çift katlı kök olduğu için işaret değişmez, payda (-). Sonuç: (+) / (-) = (-).

Adım 3 — Eşitsizliği Sağlayan Aralıkları Belirleme
Bizden \frac{f(x)}{x} \geq 0 (pozitif veya sıfır olan) yerler isteniyor:

  1. (0, 4] aralığı eşitsizliği sağlar (0 dahil değil çünkü paydayı sıfır yapar).
  2. Ayrıca f(x) = 0 olan noktalar da çözüme dahildir. Grafiğe göre f(-3) = 0 olduğundan x = -3 noktası da çözüme eklenmelidir.

Adım 4 — Tam Sayı Değerlerini Toplama

  • (0, 4] aralığındaki tam sayılar: 1, 2, 3, 4
  • Ayrıca sağlayan diğer nokta: -3

Bu sayıların toplamı:
1 + 2 + 3 + 4 + (-3) = 7

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: B) 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Çift Katlı Kök

  • Tanım: Fonksiyonun grafiğinin x eksenine teğet olduğu noktalardır.
  • Bu problemde: x = -3 noktasında grafik dönme yaptığı için işaret tablosunda sağında ve solunda işaret değişmemiştir.

2. Eşitsizlik Tablosu

  • Tanım: Fonksiyonun hangi aralıklarda pozitif veya negatif değer aldığını gösteren şemadır.
  • Bu problemde: En sağdan (en büyük kökten sonraki bölge) başlayarak grafiğin konumuna göre işaret belirlenmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: -3 Noktasını Unutmak

  • Yanlış: Sadece (0, 4] aralığını alıp 1+2+3+4 = 10 bulmak.
  • Doğru: Eşitsizlikte “\geq” sembolü olduğu için payı sıfır yapan tüm noktalar (teğet olsa bile) dahil edilmelidir.
  • Neden: f(-3)=0 olduğu için 0 / -3 = 0 olur ve 0 \geq 0 şartı sağlanır.

Bu çözümde takıldığın veya grafiğin diğer kısımlarıyla ilgili sormak istediğin bir nokta var mı?