Dik koordinat düzleminde gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyonunun grafiği verilmiştir. | 1784107193845

YKS TYT Forum
1

Dik koordinat düzleminde gerçel sayılar kümesi üzerinde
tanımlı f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
-2
f
Buna göre,
f(x)-f(2x) s0
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarınin toplamı kactır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10

Soru Görseli
Soru Görseli862×800 119 KB

2

f(x) Fonksiyonu Grafiğine Göre Eşitsizlik Çözümü

:light_bulb: KULLANILAN KAVRAMLAR: Fonksiyonun sıfırları (kökleri), eşitsizlik tablosu ve grafik okuma.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Grafikten f(x) Fonksiyonunun Köklerini ve İşaretini Belirleme
Grafiğe baktığımızda f(x) fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktalar (kökler) şunlardır:

  • x_1 = -2
  • x_2 = 4

Fonksiyonun kolları aşağı doğru olduğu için ve kökler arasında x-ekseninin üstünde kaldığı için:

  • (-2, 4) aralığında f(x) > 0 (Pozitif)
  • x < -2 veya x > 4 durumunda f(x) < 0 (Negatif)

Adım 2 — f(2x) Fonksiyonunun Köklerini Bulma
Bir fonksiyonun içindeki x değerini 2x ile değiştirmek, grafiği x-ekseni boyunca 2 kat daraltır. Kökleri bulmak için:

  • 2x = -2 \implies x = -1
  • 2x = 4 \implies x = 2
    f(2x) fonksiyonunun kökleri -1 ve 2’dir.

Adım 3 — Eşitsizlik İçin Kök Tablosu Oluşturma
Eşitsizliğimiz: f(x) \cdot f(2x) \leq 0
Tüm kökleri küçükten büyüğe sıralayalım: -2, -1, 2, 4

  • x > 4 için: f(x) < 0 ve f(2x) < 0 \implies (-) \cdot (-) = (+)
  • 2 < x < 4 için: f(x) > 0 ve f(2x) < 0 \implies (+) \cdot (-) = (-) :white_check_mark:
  • -1 < x < 2 için: f(x) > 0 ve f(2x) > 0 \implies (+) \cdot (+) = (+)
  • -2 < x < -1 için: f(x) > 0 ve f(2x) < 0 \implies (+) \cdot (-) = (-) :white_check_mark:
  • x < -2 için: f(x) < 0 ve f(2x) < 0 \implies (-) \cdot (-) = (+)

Adım 4 — Eşitsizliği Sağlayan Tam Sayıları Belirleme
f(x) \cdot f(2x) \leq 0 olması için çarpımın negatif veya sıfır olduğu aralıkları seçmeliyiz:

  1. [-2, -1] aralığındaki tam sayılar: \{-2, -1\}
  2. [2, 4] aralığındaki tam sayılar: \{2, 3, 4\}

Adım 5 — Toplamı Hesaplama
Eşitsizliği sağlayan tam sayılar: -2, -1, 2, 3, 4
Toplam: (-2) + (-1) + 2 + 3 + 4 = 6

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Fonksiyon Dönüşümü

  • Tanım: f(kx) dönüşümünde kökler 1/k oranında değişir.
  • Bu problemde: f(x)'in kökleri (-2, 4) iken f(2x)'in kökleri (-1, 2) olmuştur.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kökleri Karıştırmak

  • Yanlış: f(2x)'in köklerini 2 ile çarparak -4 ve 8 almak.
  • Doğru: İçerideki çarpan x değerlerini böler.
  • Neden Yanlış: Fonksiyonun içindeki sayı büyüdükçe, aynı çıktıyı (0 değerini) almak için daha küçük bir x girdisi gerekir.

Bu çözümde fonksiyonun grafik yapısını ve dönüşüm özelliklerini kullanarak sonuca ulaştık. Başka bir fonksiyon grafiği sorusu çözmemi ister misin?