Dik koordinat düzleminde gerçel sayılar kümesi üzerinde
tanımlı f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Aşağı
üzeri
o
Buna göre,
-x-l0
f(x)
esitsizliğini sağlayan x tam sayilarinın toplamı kactır?
A) 3
B) 4
C) 7
D) 12
E) 14
f(x) Fonksiyonu ve Eşitsizlik Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir rasyonel eşitsizliğin \frac{A}{B} \geq 0 çözümünde, pay ve paydanın kökleri bulunur ve işaret tablosu oluşturulur. Fonksiyon grafiklerinde x ekseninin altındaki kısımlar negatif, üstündeki kısımlar pozitif değerlidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Payın İncelenmesi
Eşitsizliğin pay kısmında -x^2 - 1 ifadesi yer almaktadır.
-x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = -1
Reel sayılar kümesinde bir sayının karesi negatif olamaz. Bu nedenle payın kökü yoktur. Ayrıca -x^2 daima negatif veya sıfır olduğundan, -x^2 - 1 ifadesi tüm x değerleri için daima negatiftir.
Adım 2 — Paydanın (f(x)) İncelenmesi
Grafiğe baktığımızda f(x) fonksiyonunun x eksenini kestiği noktalar (kökler) x = 2 ve x = 5 noktalarıdır.
- x < 2 için grafik x ekseninin üstündedir: f(x) > 0 (+)
- 2 < x < 5 için grafik x ekseninin altındadır: f(x) < 0 (-)
- x > 5 için grafik x ekseninin üstündedir: f(x) > 0 (+)
Adım 3 — Eşitsizliğin İşaret Analizi
Eşitsizliğimiz: \frac{-x^2 - 1}{f(x)} \geq 0
Payın daima negatif (-) olduğunu bulmuştuk. Sonucun \geq 0 (pozitif veya sıfır) çıkabilmesi için paydanın yani f(x) ifadesinin negatif olması gerekir (Çünkü \frac{-}{-} = +).
Not: Payda hiçbir zaman sıfır olamayacağı için f(x) \neq 0 olmalıdır. Yani x=2 ve x=5 değerleri çözüm kümesine dahil edilemez.
Adım 4 — Çözüm Kümesinin Belirlenmesi
f(x) < 0 olan aralık grafikte 2 ile 5 arasındaki bölgedir.
Çözüm aralığı: (2, 5)
Bu aralıktaki tam sayılar: 3 ve 4.
Adım 5 — Toplamın Hesaplanması
Bizden bu tam sayıların toplamı isteniyor:
3 + 4 = 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Fonksiyonun İşareti
- Tanım: Fonksiyonun görüntü kümesindeki değerlerin pozitiflik veya negatiflik durumudur.
- Bu problemde: Grafiğin x ekseni altında kaldığı bölgede f(x) negatif değerler almıştır.
2. Eşitsizlik Tablosu
- Tanım: Bir ifadenin köklerine göre işaret değişimini gösteren tablodur.
- Bu problemde: Payın daima negatif olması, tüm çözümün f(x)'in işaretine bağlı olmasını sağlamıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kökleri Dahil Etmek
- Yanlış: Paydada yer alan x=2 ve x=5 değerlerini çözüm kümesine dahil etmek.
- Doğru: Payda hiçbir zaman sıfır olamaz, bu yüzden bu değerler açık aralık olarak bırakılmalıdır.
- Neden yanlış: Paydanın sıfır olması ifadeyi tanımsız yapar.
Bu eşitsizlik sorusunda f(x) yerine başka bir fonksiyon verilseydi işaret tablosu nasıl değişirdi, benzer bir örnek üzerinden incelememi ister misin?