Dik koordinat düzleminde f(x) = x^2 + ax + b fonksiyonunun grafiğine x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu g(x) = bx^2 fonksiyonunun grafiğine x = -2 apsisli noktada teğettir.
Buna göre, b kaçtır?
Türev Yardımıyla Ortak Teğet Doğrusu Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir (m = f'(x_0)). Aynı teğet doğrusu üzerindeki iki farklı değme noktası (x_1, y_1) ve (x_2, y_2) arasındaki eğim ise m = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} formülü ile hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Fonksiyonların Türevleri ve Teğet Eğimlerinin Eşitlenmesi
f(x) = x^2 + ax + b ve g(x) = bx^2 parabollerinin birinci türevlerini alalım:
f'(x) = 2x + a \implies m = f'(1) = 2 + a
g'(x) = 2bx \implies m = g'(-2) = -4b
Her iki eğim aynı teğet doğrusuna ait olduğundan:
2 + a = -4b \implies a = -4b - 2
Adım 2 — Değme Noktalarının Koordinatlarının Belirlenmesi
Teğet doğrusunun eğrilerle temas ettiği noktaların koordinatlarını yazalım:
- f(x) üzerindeki teğet noktası: T_1(1, f(1)) = (1, 1 + a + b)
- g(x) üzerindeki teğet noktası: T_2(-2, g(-2)) = (-2, 4b)
Adım 3 — İki Noktadan Geçen Doğrunun Eğimi ile b Değerinin Hesaplanması
T_1 ve T_2 noktalarından geçen doğrunun eğimi, teğet eğimi olan m = -4b değerine eşit olmalıdır:
m = \frac{(1 + a + b) - 4b}{1 - (-2)} = \frac{1 + a - 3b}{3}
Eğim eşitliğini kuralım:
\frac{1 + a - 3b}{3} = -4b \implies 1 + a - 3b = -12b \implies 1 + a + 9b = 0
Adım 1’de bulduğumuz a = -4b - 2 eşitliğini yerine yazalım:
1 + (-4b - 2) + 9b = 0
5b - 1 = 0 \implies b = \frac{1}{5}
CEVAP: \frac{1}{5} (b = \frac{1}{5})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İki farklı eğriye teğet olan ortak bir doğru verildiğinde yalnızca türevleri birbirine eşitlemek yeterli değildir; iki teğet noktası arasındaki analitik eğim bağıntısını (m = \frac{\Delta y}{\Delta x}) da mutlaka türev değerine eşitlemek gerekir.