Dik koordinat düzleminde f(x) parabolü şekilde gösterilmiştir.
Bu parabolün tepe noktası (1, 8) noktası ve x_{2} - x_{1} = 4 olduğuna göre f(5) kaçtır?
A) -36
B) -32
C) -28
D) -24
E) -20
Tepe Noktası ve Kökleri Verilen Parabolde f(5) Değerinin Bulunması
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Simetri Ekseni ve Kökler İlişkisi: r = \frac{x_1 + x_2}{2}
- Tepe Noktası Bilinen Parabol Denklemi: f(x) = a(x - r)^2 + k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Köklerin Değerlerini Bulma
Parabolün tepe noktası T(r, k) = (1, 8) olarak verilmiştir. Buradan simetri ekseni r = 1 olur.
Simetri ekseni köklerin aritmetik ortalaması olduğundan:
\frac{x_1 + x_2}{2} = 1 \implies x_1 + x_2 = 2
Soruda verilen bağıntı:
x_2 - x_1 = 4
Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım:
(x_1 + x_2) + (x_2 - x_1) = 2 + 4
2x_2 = 6 \implies x_2 = 3
Bulunan x_2 değerini yerine yazarak x_1’i bulalım:
x_1 = 2 - 3 = -1
Adım 2 — Parabolün Başkatsayısını (a) Hesaplama
Tepe noktası T(1, 8) olan parabolün denklemi:
f(x) = a(x - 1)^2 + 8
x_2 = 3 noktası parabolün bir kökü olduğu için f(3) = 0 olmalıdır:
f(3) = a(3 - 1)^2 + 8 = 0
a(2)^2 + 8 = 0
4a = -8 \implies a = -2
Parabol denklemi:
f(x) = -2(x - 1)^2 + 8
Adım 3 — f(5) Değerini Hesaplama
Elde ettiğimiz denklemde x = 5 yazalım:
f(5) = -2(5 - 1)^2 + 8
f(5) = -2(4)^2 + 8
f(5) = -2(16) + 8
f(5) = -32 + 8 = -24
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) -24
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Simetri Ekseni (r)
- Tanım: Parabolü iki eşit parçaya bölen x = r doğrusudur ve köklerin tam orta noktasıdır.
- Bu problemde: r = 1 olduğu için x_1 + x_2 = 2 eşitliği kullanılarak kökler (x_1 = -1, x_2 = 3) bulunmuştur.
2. Tepe Noktası Formu
- Tanım: T(r, k) tepe noktası bilindiğinde parabol denklemi f(x) = a(x-r)^2 + k olarak yazılır.
- Bu problemde: T(1, 8) ve kök f(3) = 0 bilgisiyle başkatsayı a = -2 olarak elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
x_2 - x_1 Farkını Kökler Toplamı ile Karıştırmak
- Yanlış: Simetri eksenini doğrudan x_2 - x_1 = 4 \implies r = 4 şeklinde almak.
- Doğru: Simetri ekseni daima toplamın yarısıdır: r = \frac{x_1 + x_2}{2}.
- Neden yanlış: Parabolün tepe noktası köklerin farkına değil, geometrik olarak tam orta noktasına (aritmetik ortalamasına) karşılık gelir.
Parabol denklemini kökler formülü f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) üzerinden de çözerek alternatif bir yol görmek ister misin?