Dik koordinat düzleminde f(x) parabolü şekilde gösterilmiştir.
Bu parabolün simetri ekseni x = 3 doğrusu olduğuna göre f fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) -12
B) -10
C) -9
D) -8
E) -6
f(x) Parabolünün Alabileceği En Küçük Değerin Bulunması
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
- Kökleri bilinen parabol denklemi: f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)
- Simetri ekseni formülü: r = \frac{x_1 + x_2}{2}
- Parabolün tepe noktası ve en küçük değeri: Kolları yukarı doğru olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasının ordinatında alır: k = f(r)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Parabolün Köklerinin (x Eksenini Kestiği Noktaların) Belirlenmesi
Grafikte parabolün x eksenini kestiği noktalardan biri x_2 = 5 olarak verilmiştir. Parabolün simetri ekseni x = 3 doğrusu olduğuna göre:
r = \frac{x_1 + x_2}{2}
3 = \frac{x_1 + 5}{2}
x_1 + 5 = 6 \implies x_1 = 1
Parabolün kökleri x_1 = 1 ve x_2 = 5 olarak bulunur.
Adım 2 — Parabol Denkleminin Oluşturulması ve Başkatsayının (a) Bulunması
Kökleri 1 ve 5 olan parabolün denklemi:
f(x) = a(x - 1)(x - 5)
Grafikte parabolün y eksenini kestiği nokta (0, 15) olarak verilmiştir. Bu noktayı denklemde yerine yazalım:
f(0) = a(0 - 1)(0 - 5) = 15
a \cdot (-1) \cdot (-5) = 15
5a = 15 \implies a = 3
Buradan parabolün tam denklemi:
f(x) = 3(x - 1)(x - 5)
Adım 3 — Fonksiyonun En Küçük Değerinin Hesaplanması
a = 3 > 0 olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur ve fonksiyon en küçük değerini tepe noktasının apsisi olan x = r = 3 noktasında alır:
k = f(3) = 3(3 - 1)(3 - 5)
k = 3 \cdot (2) \cdot (-2)
k = 3 \cdot (-4) = -12
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A şıkkı (-12)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Simetri Ekseni (r)
- Tanım: Parabolü iki eş parçaya bölen ve tepe noktasından geçen x = r düşey doğrusudur.
- Bu problemde: Köklerin orta noktası kullanılarak bilinmeyen kök x_1 = 1 olarak bulunmuştur.
2. Parabolün En Küçük / En Büyük Değeri (k)
- Tanım: Parabolün tepe noktasının ordinatıdır (k = f(r)). Kolları yukarı doğru olan parabollerde bu değer minimumdur.
- Bu problemde: Simetri ekseni x = 3 değeri fonksiyonda yerine yazılarak en küçük değer -12 elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
y Eksenini Kesme Noktasını Minimum Değer Sanmak
- Yanlış: Grafikte görünen 15 veya kök değerlerini doğrudan fonksiyonun uç değeri kabul etmek.
- Doğru: Parabolün en küçük değeri daima tepe noktasının ordinatı olan k = f(r) değeridir.
- Neden yanlış: Parabol x ekseninin altına indiği için minimum değer daima tepe noktasında oluşur, eksenleri kestiği noktalarda değil.
Benzer bir parabol tepe noktası ve alan sorusuyla pratik yapmak ister misin?