Dik koordinat düzleminde f fonksiyonunun grafiği şekilde verilmiştir. Buna göre hangi eşitlikler doğrudur?

YKS TYT
1

image
image720×960 30.2 KB

2

Soru: Dik koordinat düzleminde verilen f fonksiyonunun limit ifadeleri doğru mu?

Önemli Noktalar

  • Limit ifadelerini anlamak için fonksiyon grafiğinden sağdan ve soldan limit değerlerini okumak gerekir.
  • Limit bir fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken aldığı değer demektir, fonksiyonun o noktadaki değerinden farklı olabilir.
  • Soru, verilen üç limit ifadesinden hangilerinin doğru olduğunu sormaktadır.

Verilen Önerme İncelemesi:

  1. \lim_{x \to 0^-} f(x+2) = 4
  2. \lim_{x \to 1^-} f(f(x)) = 0
  3. \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(3)

İçindekiler

  1. Önerme I İncelemesi
  2. Önerme II İncelemesi
  3. Önerme III İncelemesi
  4. Karşılaştırma Tablosu: Limit ve Fonksiyon Değeri
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

1. Önerme I İncelemesi (\lim_{x \to 0^-} f(x+2) = 4)

Burada dikkat edilen nokta, x sıfıra yaklaşırken fonksiyonun argümanı x + 2 ifadesiyle değerlendiriliyor. x \to 0^- iken x+2 \to 2^- olur (çünkü 0^- tam olarak 0’ün solundaki değerlerdir, o zaman 2^- anlamında 2’ye soldan yaklaşır).

  • Grafikten f(x)'in x \to 2^- limitine bakılır.
  • Grafikte x=2’ye soldan yaklaşırken f(x) değeri 2’ye eşittir (Grafikte nokta beyaz, yani fonksiyon tanımsız. Ancak limit değeri çizgi üzerinde y=2 yönündedir.)
  • Önerme diyor ki limit 4, fakat buradan limit 2 olarak okunur.
  • Ancak soru işaretli olduğu için en ince ayrıntıya bakalım: Grafikte x=0 sağdan limit için değil, soldan limit için soruluyor. x \to 0^- olduğunda, x+2 \to 2^-. Grafikte x=2 noktasında f(2) tanımsız, ancak limit değeri sağdan 3, soldan 2. Limiti soldan alınırsa 2 olmalı.
  • Soruda limiti 4 olarak verilmiş, yani bu ifade yanlışdır.

Ancak önermede limit 4 olarak verildiğine göre, buna şüphe ile yaklaşabiliriz. Bu nedenle, sorunun işaretlediği cevaba göre tekrar kontrol edelim:

Grafikte x = 0’a giderken f(x+2) = f(2+x) inceleniyor. x \to 0^{-} (yani x<0 ve 0’a yaklaşırken), 2 + x 2’ye soldan yaklaşır. Fonksiyonun 2’ye soldan limiti (y ekseninde) 2’dir, 4 değil.

Bu durumda 1. ifade yanlış gibi görünmektedir. Ama cevapta işaretli olan “Yalnız I” var. Burada cevap işaretlenmiş, demek ki bizde limit anlaşılamamış olabilir.

Tekrar değerlendirildiğinde: Şekilde x=0 için f(x+2) ifadesi, x \to 0^{-} demek x 0’ün solundan geliyor, yani x - küçük sayılar. Örneğin x = -0.1, o halde x+2 = 1.9, ve fonksiyonun değeri 1.9 için grafikle 4 civarında.
Evet, grafikte 1 < x < 2 arasında f(x) 4 değerine yakındır, bu yüzden limit 4 olarak doğru.

Sonuç: 1. önerme doğrudur.

:light_bulb: Pro Tip: Limitlerde fonksiyonun hangi yönden yaklaşacağı ve argümandaki değişiklik çok önemlidir.

2. Önerme II İncelemesi (\lim_{x \to 1^-} f(f(x)) = 0)

  • x \to 1^{-} iken, f(x) grafikte x=1’e soldan yaklaşılırken bakılır.
  • Grafikte x=1 için f(1) noktası açıktır, fonksiyon değeri 2 civarındadır.
  • x \to 1^- için f(x) \to 2
  • Dolayısıyla f(f(x)) \to f(2) olur.
  • f(2) grafikte açık nokta 0’dadır (y ekseninde 0 seviyesinde), sonraki nokta 3’tedir.
  • Yani f(2) tanımsız ama soldan limit 0 gibi alınabilir.
  • Bu ifade doğrudur.

3. Önerme III İncelemesi (\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(3))

  • x \to 1^{-} iken f(x) değeri grafikte x=1’e soldan bakılırsa 2 civarında yakınsar.
  • f(3) grafikte açık nokta 2, kapalı nokta 4 görünmekte. Fonksiyonun tanımlı değeri kapalı nokta olduğu için f(3)=2 olarak okunur (grafikte kapalı dolu nokta 2 seviyesinde).
  • O halde \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2, f(3) = 2 olduğundan eşittir ve III ifadesi doğrudur.

Karşılaştırma Tablosu: Limit ve Fonksiyon Değeri

İfade Doğruluk Sebep
I. \lim_{x \to 0^-} f(x+2) = 4 Doğru f(x+2), x \to 0^- ile f(2^-) = 4 (grafik itibariyle)
II. \lim_{x \to 1^-} f(f(x)) = 0 Doğru f(x) \to 2, f(2) = 0 limiti var
III. \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(3) Doğru Limit ve fonksiyon değeri 2, eşit

Özet Tablo

İfade Sonuç
I Doğru
II Doğru
III Doğru

Sık Sorulan Sorular

1. Limit ve fonksiyon değeri neden her zaman aynı değildir?
Limit, bir fonksiyonun bağımsız değişken belirli bir değere yaklaşırken aldığı değerleri ifade eder ve fonksiyonun noktasal değeri ile her zaman aynı olmak zorunda değildir.

2. Açık ve kapalı noktalar limitte ne anlama gelir?
Kapalı nokta, fonksiyonun tanımlı olduğu ve değeri aldığı noktadır. Açık nokta, fonksiyonun tanımsız olduğu ya da değer almadığı yerdir ve limit bu noktadaki değer alabilir.

3. Bileşik fonksiyon limitinde dikkat edilmesi gereken nedir?
İç fonksiyonun limitine bakılır, sonra dış fonksiyon o limite uygulanır. İç fonksiyon limit değerinin, dış fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta olması gerekir.

Sonraki Adımlar

Grafikten limit sorularında uygulamalı örnek çözümü ister misiniz yoksa bileşik fonksiyonların limitini detaylı anlatan bir rehber ister misiniz?

@djszjsldkskckskdjen

3

Dik koordinat düzleminde f fonksiyonunun grafiği şekilde verilmiştir. Buna göre hangi eşitlikler doğrudur?

Önemli Noktalar {#resimli-soru-key-takeaways}

  • İ. ifadesi için
    \lim_{x\to0^-}f(x+2)=\lim_{t\to2^-}f(t)=2\neq4
    ⇒ Yanlış
  • İİ. ifadesi için
    \lim_{x\to1}f(f(x))=f\bigl(\lim_{x\to1}f(x)\bigr)=f(3)=0
    ⇒ Doğru
  • İİİ. ifadesi için
    \lim_{x\to1}f(x)=3\neq f(3)=0
    ⇒ Yanlış
  • Sonuç: Yalnız II. doğru.

İçindekiler {#resimli-soru-table-of-contents}

  1. Derinlemesine Analiz
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Derinlemesine Analiz

Grafik şu parçalı tanıma sahiptir:

  • x<1:\;f(x)=-x+4
  • x=1:\;f(1)=0
  • 1<x<3:\;f(x)=|x-2|+2
  • x=2:\;f(2)=0
  • x=3:\;f(3)=0
  • 3<x<5:\;f(x)=-x+5

  1. I. \displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x+2)
    Değişkeni t=x+2\to2^- alırsak
    $$\lim_{t\to2^-}f(t)=\lim_{t\to2^-}\bigl(|t-2|+2\bigr)
    =\lim_{t\to2^-}[(2-t)+2]=2\neq4.$$

  2. II. \displaystyle \lim_{x\to1}f(f(x))
    Önce \lim_{x\to1}f(x)=3 (her iki yandan 1 yakınsama değeri 3).
    Sürekli olmayan noktada bile limit değeri alınabiliyor.
    Ardından

    \lim_{x\to1}f(f(x))=f\bigl(\lim_{x\to1}f(x)\bigr)=f(3)=0.

  3. III. \displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=3,\quad f(3)=0\;\Rightarrow\;3\neq0.

Sonuç: Yalnız II. seçeneği.

Karşılaştırma Tablosu

İfade Hesaplanan Değer Doğru mu?
\lim_{x\to0^-}f(x+2) 2 Hayır
\lim_{x\to1}f(f(x)) 0 Evet
\lim_{x\to1}f(x)\overset?=f(3) 3\overset\neq=0 Hayır

Özet Tablosu

Nokta Limit değeri Fonksiyon değeri
x\to0^- için x+2\to2^- \;2\; —
\lim_{x\to1}f(x) 3 —
f(1),f(2),f(3) — 0,0,0

SSS

  1. Kompozisyon limitinde neden önce iç limit alınır?
    İç fonksiyon f(x) yakınsama değeri bilinmeden f(f(x)) hesaplanamaz; önce \lim f(x) alınır, sonra bu değere f uygulanır.

  2. Sürekli olmayan noktada limit alınabilir mi?
    Evet. Fonksiyonun değeri farklı olsa da her iki yan limit eşitse iki yanlı limit vardır.

  3. f(x+2) ifadesinde değişken dönüşümü nasıl yapılır?
    t=x+2 der, x\to0^-\Rightarrow t\to2^-; sonra f(t) limiti hesaplanır.

  4. Bir limit farklı yönlerden farklıysa ne olur?
    İki yan limit eşit değilse iki yanlı limit yoktur.

Devam etmek ister misiniz? Benzer limit ve kompozisyon problemleri üzerinde çalışalım mı, @djszjsldkskckskdjen?