Dik koordinat düzleminde bir köşesi orijinde ve bir kenarı x-ekseni üzerinde olan OABC eşkenar dörtgeninin B köşesinin koordinatları (18, 12) dir.
Buna göre, OABC dörtgeninin çevresi kaç birimdir?
Analitik Geometride Eşkenar Dörtgen ve Çevre Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir ve karşılıklı kenarları paraleldir. Tabanı x-ekseni üzerinde olan bir eşkenar dörtgende kenar uzunluğu a ise A(a, 0) ve ötelenen köşe koordinatı C(x_B - a, y_B) olur; kenar uzunluğu Pisagor bağıntısı (|OC| = a) ile hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Köşe Koordinatlarını Kenar Uzunluğu Cinsinden Yazma
OABC eşkenar dörtgeninin bir kenar uzunluğuna a diyelim. OA kenarı pozitif x-ekseni üzerinde olduğundan A noktasının koordinatları A(a, 0) olur.
[OA] ile [CB] kenarları birbirine paralel ve eşit uzunlukta (\vec{OA} = \vec{CB}) olduğundan, B(18, 12) noktasından a birim sola gidilerek C noktasının koordinatları bulunur:
C(18 - a, 12)
Adım 2 — Pisagor Teoremi ile Kenar Uzunluğunu (a) Bulma
Eşkenar dörtgende tüm kenarlar eşit olduğundan orijin ile C noktası arasındaki uzaklık |OC| = a birimdir. İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanırsa:
|OC|^2 = (18 - a)^2 + 12^2 = a^2
Eşitliği açıp düzenleyelim:
(324 - 36a + a^2) + 144 = a^2
468 - 36a = 0
36a = 468 \implies a = 13\text{ birim}
(Buradan 18 - a = 5 olur ve C(5, 12) noktası ile 5-12-13 özel dik üçgeni sağlandığı görülür).
Adım 3 — Eşkenar Dörtgenin Çevresini Hesaplama
Eşkenar dörtgenin çevresi 4 eşit kenarının toplamına eşittir:
\text{Çevre}(OABC) = 4 \times a = 4 \times 13 = 52\text{ birim}
CEVAP: 52 birim (\text{Çevre} = 4 \times 13 = 52)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: B(18, 12) noktasının ordinatı 12 olduğu için düşey kenar yüksekliği 12’dir. Hipotenüsü a, yatay kenarı 18 - a ve düşey kenarı 12 olan dik üçgende 5-12-13 özel üçgenini doğrudan fark ederek 18 - a = 5 \implies a = 13 eşitliğini saniyeler içinde görebilirsiniz.