Dik koordinat düzleminde [-6, 6] aralığında tanımlı f fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
a , b , c ve d ; [-6, 6] aralığında birer gerçek sayı olmak üzere, a < b < c < d eşitsizliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
I. f(a) < f(b) < f(c) < f(d)
II. f(b) < f(a) < f(c) < f(d)
III. f(c) < f(a) < f(b) < f(d)
ifadelerinden hangileri doğru olabilir?
Fonksiyon Grafiğinde Değer ve Sıralama Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir fonksiyonun grafiği üzerinde artan ve azalan aralıklar ile yerel ekstremum (tepe ve çukur) noktaları kullanılarak, a < b < c < d koşulunu sağlayan apsisler için farklı fonksiyon değeri sıralamaları elde edilebilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Grafik incelendiğinde f(x) fonksiyonunun [-6, 6] aralığındaki davranışı şu şekildedir:
- x = -6 noktasında f(-6) = -7 değerinden başlayıp ilk tepe noktasına kadar artar.
- İlk tepe noktasından (pozitif değer) x ekseninin altına inen yerel minimum (çukur) noktasına kadar azalır.
- Çukur noktasından orijin (0,0) üzerinden geçerek (0, 6) aralığındaki en yüksek tepe noktasına kadar artar.
- En yüksek tepe noktasından sonra azalarak x = 6 noktasında f(6) = 0 değerine ulaşır.
Öncülleri tek tek inceleyelim:
-
I. f(a) < f(b) < f(c) < f(d) ifadesi:
Fonksiyonun (0, 6) aralığında orijinden tepe noktasına kadar olan kısmı sürekli artandır. Bu aralıkta seçilecek 0 < a < b < c < d değerleri için fonksiyon artan olduğundan doğrudan f(a) < f(b) < f(c) < f(d) eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla I. öncül doğru olabilir. -
II. f(b) < f(a) < f(c) < f(d) ifadesi:
x < 0 bölgesindeki ilk tepe noktasından çukur noktasına geçişte fonksiyon azalandır:- a değerini ilk tepede (f(a) > 0),
- b değerini yerel minimum çukurunda (f(b) < 0 ve a < b) seçersek f(b) < 0 < f(a) olur.
- c ve d değerlerini ise pozitif taraftaki (0, 6) tepe noktası civarında seçersek (b < c < d), bu tepenin değeri ilk tepeden daha büyük olduğu için f(a) < f(c) < f(d) sağlanabilir.
- Buradan f(b) < f(a) < f(c) < f(d) sıralaması elde edilir. Dolayısıyla II. öncül doğru olabilir.
-
III. f(c) < f(a) < f(b) < f(d) ifadesi:
- a ve b noktalarını ilk tepeye tırmanırken seçelim (a < b \implies 0 < f(a) < f(b)).
- c noktasını ilk tepeden sonraki negatif değerli çukurda seçelim (b < c). Bu durumda f(c) < 0 olacağından f(c) < f(a) < f(b) sağlanır.
- d noktasını (0, 6) aralığındaki büyük tepe noktasında seçersek (c < d), f(d) değeri grafikteki en büyük değerlerden biri olacağından f(b) < f(d) sağlanır.
- Böylece a < b < c < d iken f(c) < f(a) < f(b) < f(d) elde edilir. Dolayısıyla III. öncül doğru olabilir.
CEVAP: I, II ve III
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: “Doğru olabilir” tarzı grafik sorularında aralıkların yerel maksimum ve minimum değerleri ile dalgalanma yönleri (artış-azalış) dikkate alınarak uygun apsisler seçildiğinde fonksiyon sıralamaları serbestçe kurgulanabilir.