Dik koordinat düzleminde [0, 3] kapalı aralığında tanımlı f ve g fonksiyonlarının grafikleri aşağıda verilmiştir.
a , b ve c gerçel sayıları için,
0 < a < b < c < 3
eşitsizliği veriliyor.
f(a) = f(b) = c
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) g(c) < f(c) < g(a)
B) f(a) < g(c) < g(b)
C) f(b) < g(a) < g(b)
D) g(b) < g(a) < f(a)
E) f(c) < g(b) < g(c)
Fonksiyon Grafiklerinde Değer ve Sıralama Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir fonksiyon grafiğinde f(x) = c denkleminin kökleri, grafiğin y = c yatay doğrusu ile kesişim noktalarının apsisleridir. Ayrıca bir aralıkta daima artan olan bir g fonksiyonunda x_1 < x_2 iken g(x_1) < g(x_2) eşitsizliği geçerlidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — a, b ve c Sayılarının Tanım Aralıklarının Belirlenmesi
Grafiğe göre kırmızı ile gösterilen f fonksiyonu [0, 1] aralığında 2’den 3’e çıkmakta, [1, 2] aralığında ise 3’ten 2’ye inmektedir.
f(a) = f(b) = c eşitliğini sağlayan iki farklı değer için y = c doğrusu tepe noktasının altından geçmelidir. Verilen 0 < a < b < c < 3 koşulunda b < c olduğundan, kesim noktasının apsisi olan b, yatay doğrunun ordinatı olan c’den küçük kalmalıdır.
Bu durum yalnızca c’nin 2’den büyük olmasıyla mümkündür:
c \in (2, 3) \implies a \in (0, 1), \quad b \in (1, 2), \quad c \in (2, 3)
Adım 2 — Fonksiyon Değerlerinin Sıralanması
- g(b) ile g(c) kıyaslaması: Mavi ile gösterilen g fonksiyonu [1, 3] aralığında daima artandır. b \in (1, 2) ve c \in (2, 3) olduğundan b < c şartı gereği:
g(b) < g(c)
- f(c) değerinin analizi: c \in (2, 3) aralığındadır. Grafikte f eğrisi (2, 3) aralığında çukur yapmakta ve daima y < 2 bölgesinde ([1, 2) aralığında) kalmaktadır. Dolayısıyla f(c) < 2’dir.
- g(b) değerinin analizi: b noktasında g fonksiyonunun değeri f(c)'den büyüktür.
Bu veriler birleştirildiğinde doğru sıralama elde edilir:
f(c) < g(b) < g(c)
CEVAP: E) f(c) < g(b) < g(c)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: f(a) = f(b) = c denkleminde c sayısı hem görüntü hem de b < c eşitsizliğinde bir sınır değerdir. Bu tür sorularda y = c yatay çizgisinin ordinat değerini, kestiği x = b apsisinden büyük tutacak aralığı (c > 2) yakalamak soruyu saniyeler içinde çözdürür.