Dik koordinat düzieminde fox) = 2x-mx fonksiyonunun gra- figine (3

Maths Question
1

Dik koordinat düzieminde fox) = 2x-mx fonksiyonunun gra-
figine (3. f(3) noktasindan çizilen teğet doğrusu, g(x) =nx
fonksiyonunun grafigine (-1. g-1)) noktasinda teğettir.
Buna göre, m +n toplamı kaçtır?
A) 28 B) 30 C) 32
D) 26
E) 36

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli1024×519 28.7 KB

2

Dik koordinat düzleminde verilen fonksiyonların teğet doğrularının m+n toplamı sorusu

:light_bulb: Kullanılan temel kavramlar:

  • Bir fonksiyonun grafiğine verilen bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevidir.
  • İki doğrunun birbirine teğet olması, eğimlerinin ve noktalarının aynı olması anlamına gelir.

:brain: Çözüm adımları:

Adım 1 — f(x) fonksiyonunun türeviden teğetin eğimini bulma
Verilen fonksiyon:

f(x) = 2x^2 - mx

Türevi:

f'(x) = 4x - m

Adım 2 — Noktada teğet eğimini hesapla
Teğet, x=3 noktasında çiziliyor. O halde:

f'(3) = 4(3) - m = 12 - m

Adım 3 — Teğetin denklemi
Teğet noktası: (3, f(3))
Öncelikle f(3)'ü bulalım:

f(3) = 2 \times 3^2 - m \times 3 = 18 - 3m

Teğet doğrusu denklemi:

y - y_0 = m_{teğet} (x - x_0)
y - (18 - 3m) = (12 - m)(x - 3)

Adım 4 — g(x) fonksiyonu ve onun teğet koşulu
Verilen:

g(x) = n x^3

Türev:

g'(x) = 3 n x^2

Teğet noktası: (-1, g(-1))

g(-1) = n(-1)^3 = -n

Teğet eğimi:

g'(-1) = 3n (-1)^2 = 3n

Adım 5 — Teğet doğrusu g(x) noktasında aynı eğime sahip olmalı ve aynı doğru olmalı
Teğet doğrusunun x değerine -1 yazınca hem y değeri g(-1) = -n hem de eğim 3n olmalı.

Teğet doğrusu denkleminden x = -1 için y değeri:

y = (12 - m)(-1 - 3) + 18 - 3m = (12 - m)(-4) + 18 - 3m = -4(12 - m) + 18 - 3m = -48 + 4m + 18 - 3m = -30 + m

Bu y değeri, aynı zamanda g(-1) = -n olmalı, yani:

-n = -30 + m \Rightarrow n = 30 - m

Adım 6 — Teğet eğimleri eşit olmalı

f'(3) = g'(-1)
12 - m = 3n

Yerine yazarsak:

12 - m = 3 (30 - m) = 90 - 3m

Denklemi çözelim:

12 - m = 90 - 3m
-m + 3m = 90 - 12
2m = 78 \Rightarrow m = 39

Adım 7 — n değerini bul

n = 30 - m = 30 - 39 = -9

Adım 8 — m + n toplamı

m + n = 39 + (-9) = 30

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: B) 30
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Temel Kavramlar:

  • Türev: Fonksiyonun eğimini verir.
  • Teğet doğrusu: Bir noktada fonksiyonun anlık değişim eğimidir.
  • Teğetin ortak olması: Hem eğim hem nokta koordinatları aynı olmalı.

:warning: Sık yapılan hata:
Yanlış: Teğet denklemi kurmadan veya türev almadan direkt eşitleme yapmak.
Doğru: Önce türev alınmalı, nokta değerleri hesaplanmalı ve teğet doğrusu denklemi kurulmalı.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
İstersen bu konuyla ilgili başka bir örnek soruyla yardımcı olabilirim.

3

Dik koordinat düzleminde f(x)=2x^2 - m x fonksiyonunun grafiğine (3, f(3)) noktasından çizilen teğet doğrusu, g(x)=n x^3 fonksiyonunun grafiğine (−1, g(−1)) noktasında teğettir. Buna göre, m + n toplamı kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Türev: Bir fonksiyonun teğet eğimi için türev kullanılır;
f’(x) = fonksiyon f’nin türevi, g’(x) = fonksiyon g’nin türevi.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Türevleri ve eğim eşitliği

Fonksiyonlar:

f(x)=2x^2 - m x
g(x)=n x^3

Türevler:

f'(x)=4x - m
g'(x)=3n x^2

Eşitlik: teğet eğimleri eşittir (x=3 için f, x=−1 için g):

f'(3)=g'(-1)
4\cdot 3 - m = 3n\cdot (-1)^2
12 - m = 3n

Adım 2 — Teğet doğrusu denklemi (f için) ve nokta koşulu

f noktasının yatay koordinatı ve fonksiyon değeri:

f(3)=2\cdot 3^2 - m\cdot 3
f(3)=18 - 3m

f için teğet eğimi:

s= f'(3)=12 - m

f teğet doğrusunun denklemi (nokta-eğim formu):

y - (18 - 3m) = (12 - m)(x - 3)

Bu doğru g grafiğine x=−1 noktasında teğet olduğuna göre, x=−1 için doğru üzerinde y = g(−1) = −n olmalıdır.

Doğruya x=−1 koyma:

y(-1) - (18 - 3m) = (12 - m)(-1 - 3)
y(-1) - (18 - 3m) = (12 - m)(-4)
y(-1) = (18 - 3m) - 4(12 - m)

Ve bu değer g(−1) = −n olmalı:

(18 - 3m) - 4(12 - m) = -n

Adım 3 — Denklem sistemini çözme

İki denklemimiz var:

  1. 12 - m = 3n
  2. (18 - 3m) - 4(12 - m) = -n

İkinci denklemi sadeleştir:

4(12 - m) = 48 - 4m
(18 - 3m) - (48 - 4m) = -n
18 - 3m - 48 + 4m = -n
-30 + m = -n
n = 30 - m

Birinci denklemden n ifadesi:

n = \dfrac{12 - m}{3}

Bu iki n ifadesini eşitle:

\dfrac{12 - m}{3} = 30 - m

Her iki tarafı 3 ile çarp:

12 - m = 90 - 3m

Tarafları düzenle:

-m + 3m = 90 - 12
2m = 78
m = 39

m değerini n = 30 - m formülüne koy:

n = 30 - 39
n = -9

Adım 4 — Seçeneklerin incelenmesi

A Seçeneği: 28

  • İnceleme: m + n = 39 + (−9)
m + n = 39 + (-9)
m + n = 30
  • Sonuç: 28 seçeneği YANLIŞ.

B Seçeneği: 30

  • İnceleme: m + n = 39 + (−9)
m + n = 39 + (-9)
m + n = 30
  • Sonuç: 30 seçeneği DOĞRU.

C Seçeneği: 32

  • İnceleme: m + n = 39 + (−9)
m + n = 39 + (-9)
m + n = 30
  • Sonuç: 32 seçeneği YANLIŞ.

D Seçeneği: 26

  • İnceleme: m + n = 39 + (−9)
m + n = 39 + (-9)
m + n = 30
  • Sonuç: 26 seçeneği YANLIŞ.

E Seçeneği: 36

  • İnceleme: m + n = 39 + (−9)
m + n = 39 + (-9)
m + n = 30
  • Sonuç: 36 seçeneği YANLIŞ.

Adım 5 — Son Doğrulama

Teğet eğimleri ve nokta koşulundan elde edilen m ve n değerleri birbirleriyle tutarlıdır; elde edilen toplam seçenekler arasından B) 30 ile uyuşmaktadır.

:white_check_mark: B. 30 — DOĞRU
:cross_mark: A. 28 — YANLIŞ
:cross_mark: C. 32 — YANLIŞ
:cross_mark: D. 26 — YANLIŞ
:cross_mark: E. 36 — YANLIŞ

:white_check_mark: CEVAP: B) 30

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: