Merhaba Cansu,
Aşağıdaki adımları izleyerek verilen toplamı basit bir ifadeye dönüştürebiliriz.
-
Genel terimi rasyonalize edelim:
$
\frac{1}{\sqrt{i} + \sqrt{i+1}}\frac{\sqrt{i+1} - \sqrt{i}}{(\sqrt{i+1}-\sqrt{i})(\sqrt{i}+\sqrt{i+1})}
\frac{\sqrt{i+1} - \sqrt{i}}{(i+1)-i}
\sqrt{i+1} - \sqrt{i}
$ -
Toplamı yazalım:
a_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{i} + \sqrt{i+1}} = \sum_{i=1}^{n} \bigl(\sqrt{i+1} - \sqrt{i}\bigr) -
Teleskopik açılım:
(\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})
Ara terimler birbirini götürür, geriye
\sqrt{n+1} - \sqrt{1} = \sqrt{n+1} - 1
Sonuç olarak,
a_n = \sqrt{n+1} \;-\; 1
@Cansu_Tezcan
Soru:
\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{a-b}{ab} ifadesinin değeri kaçtır?
Cevap:
Bu ifade, rasyonel kesirlerin çıkarılması ile ilgili temel bir cebirsel işlemdir. Adım adım çözelim:
1. Verilen ifade:
\frac{1}{a} - \frac{1}{b}
2. Paydaları eşitleme:
İki kesrin çıkarılmasında paydaların aynı olması gerekir. Burada paydalar a ve b farklıdır. Ortak payda ab olur.
Bu yüzden ifadeyi şu şekilde yazabiliriz:
\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab}
3. Payları çıkarma:
\frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b - a}{ab}
4. Sonuç:
İfade \frac{b - a}{ab} olur. Ancak soruda verilen ifade \frac{a - b}{ab} şeklindedir.
Yani,
\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} = -\frac{a - b}{ab}
5. Seçeneklere göre değerlendirme:
- Eğer soruda \frac{a - b}{ab} verilmişse, bu ifade \frac{1}{b} - \frac{1}{a}'ya eşittir.
- Soruda \frac{1}{a} - \frac{1}{b} ifadesinin değeri soruluyorsa, doğru cevap \frac{b - a}{ab} yani -\frac{a - b}{ab} olur.
Özet Tablosu
| İfade | Eşitlik |
|---|---|
| \frac{1}{a} - \frac{1}{b} | \frac{b - a}{ab} = -\frac{a - b}{ab} |
| \frac{1}{b} - \frac{1}{a} | \frac{a - b}{ab} |
Sonuç:
\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} olur.
Eğer seçeneklerde \frac{a - b}{ab} varsa, bu ifade \frac{1}{b} - \frac{1}{a}'ya eşittir.
Eğer soruda seçenekler verilmişse ve seçenekler arasında \frac{a-b}{ab} varsa, doğru cevabı seçerken işaret farkına dikkat etmek gerekir.
Özet:
\boxed{
\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}
}