Soru:
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
y
B)
C) x
S oruları Çöz
E) x•y
Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]
İfadenin sadeleştirilmiş biçimini bulma
Kullanılan kural: Kesirlerde çıkarma, bölme ve çarpma işlemleri yapılırken pay ve payda ifadelerini doğru şekilde sadeleştirmek gerekir.
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Paydaki ifadeyi parçalara ayırmak
İfade:
\frac{y^2 - y}{x - \frac{x}{y}} \cdot \frac{x}{y}
Paydaki ifadeyi açalım:
y^2 - y = y(y - 1)
Adım 2 — Paydadaki ifadeyi ortak payda kullanarak sadeleştirmek
Payda:
x - \frac{x}{y} = \frac{xy}{y} - \frac{x}{y} = \frac{xy - x}{y} = \frac{x(y-1)}{y}
Adım 3 — Tüm kesri sadeleştirmek
İfade şimdi:
\frac{y(y-1)}{\frac{x(y-1)}{y}} \cdot \frac{x}{y}
Kesir bölme işlemi, paydadaki kesri ters çevirip çarpmak demektir:
\frac{y(y-1)}{1} \times \frac{y}{x(y-1)} \cdot \frac{x}{y}
Adım 4 — Sadeleştirme
Parantez içindeki ortak terimler sadeleşir:
- (y - 1) hem pay hem paydada var, sadeleşir
- x ve y’ler uygun şekilde sadeleşir
Şöyle yazalım:
y \times \frac{y}{x(y-1)} \times \frac{x}{y} = \frac{y \cdot y \cdot x}{x \cdot y \cdot (y-1)} (y - 1) \text{ terimleri düşer}
Sadeleştirme sonrası:
\frac{y \cdot y \cdot x}{x \cdot y \cdot (y-1)} \times (y-1) = y
Ama dikkat edelim: Kısımda sadeleştirmeler sonucunda sadece y kalır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) y
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Önemli Kavramlar:
- Ortak Çarpan Parantezine Alma: y^2 - y = y(y-1)
- Kesirlerde Payda İşlemleri: Kesirli ifadelerin paydasını ortak payda ile düzenleme
- Sadeleştirme: Pay ve paydayı etkisiz hale getirmek için ortak çarpanları yok etme
Yaygın Hata:
- Payda işlemlerindeki ortak payda kullanılmazsa yanlış sonuç çıkar
- Kesir bölme işleminde ters çevirip çarpma unutulabilir
Başka örnekler ya da daha fazla açıklama ister misin? Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
\dfrac{y^{2}-y}{\,x-\dfrac{x}{y}\,}\cdot\dfrac{x}{y} ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Faktörleme ve kesirlerde sadeleştirme kuralları kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Pay ve paydanın faktörlenmesi
Başlangıç ifadesi:
\dfrac{y^{2}-y}{\,x-\dfrac{x}{y}\,}\cdot\dfrac{x}{y}
y^{2}-y = y(y-1)
Adım 2 — Paydanın sadeleştirilmesi
Payda ifadesi:
x-\dfrac{x}{y}
= x\left(1-\dfrac{1}{y}\right)
= x\left(\dfrac{y-1}{y}\right)
Adım 3 — Kesri yazıp ortak çarpanı sadeleştirme
Kesir şimdi:
\dfrac{y(y-1)}{\,x\left(\dfrac{y-1}{y}\right)\,}\cdot\dfrac{x}{y}
= y(y-1)\cdot\dfrac{y}{x(y-1)}\cdot\dfrac{x}{y}
= y\cdot\dfrac{y}{x}\cdot\dfrac{x}{y}
Adım 4 — Çarpma ve sadeleştirme
Çarpma öncesi:
\dfrac{y^{2}}{x}\cdot\dfrac{x}{y}
= \dfrac{y^{2}\cdot x}{x\cdot y}
= \dfrac{y^{2}}{y}
= y
CEVAP: y
TEMEL KAVRAMLAR:
- Faktörleme
- Tanım: Bir polinomu çarpanlarına ayırma işlemi.
- Bu problemde: y^{2}-y ifadesi y(y-1) şeklinde faktörlendi.
- Kesirlerde sadeleştirme
- Tanım: Hem pay hem paydada ortak çarpanların çıkartılması.
- Bu problemde: y-1 ve x ortak çarpanları sadeleştirildi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Ortak çarpanın göz ardı edilmesi
- Yanlış: Payda içindeki ifadeyi doğrudan x - x/y olarak bırakıp sadeleştirmeye çalışmak.
- Doğru: Payda x(1-1/y) şeklinde yazılmalı ve 1-1/y = (y-1)/y kullanılarak ortak çarpanlar görünür hâle getirilmelidir.
- Neden yanlış: Ortak çarpan görünmediğinde sadeleştirme yapılamaz.
- Düzeltme: Payda faktörlenip pay ile payda arasındaki ortak çarpanlar sadeleştirilmelidir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bana bu cevabı Özetle
İfadenin Sadeleştirilmiş Hali - Özet
Verilen ifade:
\frac{y^{2} - y}{x - \frac{x}{y}} \cdot \frac{x}{y}
Özet Çözüm:
- Paydaki ifadeyi çarpanlarına ayır: y^2 - y = y(y-1)
- Paydadaki ifadeyi ortak payda kullanarak yaz:
x - \frac{x}{y} = x \left(1 - \frac{1}{y}\right) = x \cdot \frac{y-1}{y} - İfadeyi yeniden yaz ve sadeleştir:\frac{y(y-1)}{x \cdot \frac{y-1}{y}} \cdot \frac{x}{y} = y(y-1) \cdot \frac{y}{x(y-1)} \cdot \frac{x}{y} = y
Sonuç: İfadenin sadeleştirilmiş biçimi y’dir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!