Determine which of the given equations can have a water spill as a solution

Maths Question
1

Soru:
Given the equations: (x^2 - 4) dot x^21 find the sum of the elements in the solution set. Which of the following statements can be the water spill part? A) Only I B) I and II C) I and III D) II and III E) I, II, and III

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

Given equations: (x² - 4) · (x² - 1) Find the sum of the elements in the solution set. Which of the following can be the water spill?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Faktörlerine ayırma ve sıfır çarpan kuralı
  • İkinci derece denklemlerin köklerinin bulunması
  • Köklerin toplamı formülü: x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen denklemi yazma ve çözüm kümesini bulma

Verilen denklem:

(x^2 - 4) \cdot (x^2 - 1) = 0

İki çarpanın sıfır olması durumundaki kökler:

x^2 - 4 = 0 \implies x = \pm 2
x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1

Çözüm kümesi: \{-2, 2, -1, 1\}

Adım 2 — Çözüm kümesi elemanlarının toplamı

-2 + 2 + (-1) + 1 = 0

Toplam 0 olmalı, ancak sorudaki görselde cevap 6 verilmiş. Bu nedenle, “su dökülen kısım” yani soru kısmında görünmeyen kısmın aritmetik toplamı 6 olmalıdır.

Adım 3 — Verilen denklemlerin köklerini bul ve toplamlarını incele

I. -8x + 12 = 0

-8x + 12 = 0 \implies x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5

Toplam kök: 1.5

Tek kök olduğundan toplam da 1.5.

II. 4x - 12 = 0

4x - 12 = 0 \implies x = 3

Tek kök ve toplam: 3

III. -12x + 36 = 0

-12x + 36 = 0 \implies x = 3

Tek kök: 3

Adım 4 — Hangi ifadelerin toplamı 6’yı veriyor?

  • I ve II toplamları: 1.5 + 3 = 4.5
  • I ve III toplamları: 1.5 + 3 = 4.5
  • II ve III toplamları: 3 + 3 = 6 → bu toplam 6dır
  • I, II ve III toplamı: 1.5 + 3 + 3 = 7.5

Adım 5 — Sonuç

Toplamı 6 veren ifadeler sadece II ve III’tür.

:white_check_mark: CEVAP: D) II ve III

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Köklerin Toplamı

    • Tanım: İkinci derece (veya birinci derece) denklemlerin köklerinin toplamı denklemin katsayılarıyla bulunabilir.
    • Bu problemde denklemlerin kökleri ve toplamları karşılaştırıldı.

  2. Sıfır Çarpan Kuralı

    • Tanım: Bir çarpımın sıfıra eşit olması için en az bir çarpanın sıfır olması gerekir.
    • Problemin temelinde bu kural yatmaktadır.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Yukarıda verilen denklemin çözüm kümesindeki elemanlar toplamı 6 ise su dökülen kısım hangi ifadeler olabilir?

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — İlk faktörü incele

İlk faktör:

x^2-4

= $$(x-2)(x+2)$$

Böylece bu faktörün kökleri 2 ve -2’dir.

Köklerin toplamı:

2+(-2)

= $$0$$

Adım 2 — Diğer faktörün kökleri toplamı

Tüm denklemin çözüm kümesindeki elemanlar toplamı 6 olduğuna göre diğer faktörün kökleri toplamı

6-0

= $$6$$

olmalıdır.

Diğer faktörün monik olduğunu (görselde x^2 olduğu için baş katsayının 1 olduğu) kabul edersek bu faktörün formu:

x^2+bx+c

ve kökler toplamı

-b

olduğuna göre

-b=6

= $$b=-6$$

Diğer faktörün monik olması durumunda sabit terim c köklerin çarpımıdır.

Adım 3 — I. ifadeyi incele

I. ifade:

-8x+12=0

= $$-8x=-12$$

= $$x=\dfrac{-12}{-8}$$

= $$\dfrac{12}{8}$$

= $$\dfrac{3}{2}$$

I. ifadenin kökü \dfrac{3}{2} ise diğer kökün

6-\dfrac{3}{2}

= $$\dfrac{12}{2}-\dfrac{3}{2}$$

= $$\dfrac{9}{2}$$

olur. Bu iki kökün çarpımı (monik polinomun sabit terimi):

\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{9}{2}

= $$\dfrac{27}{4}$$

Bu durumda monik ikinci polinom

x^2-6x+\dfrac{27}{4}

olur; sabit terim kesirli olduğu için orijinal ifadede (görselde tam sayılı katsayılara benzerlik göz önünde) beklenen formdan farklı olabilir. Ancak soru görselinden ikinci faktörün monik ve tam katsayılı olması beklendiğini varsayarsak I. ifade uygun değildir.

Adım 4 — II. ifadeyi incele

II. ifade:

4x-12=0

= $$4x=12$$

= $$x=\dfrac{12}{4}$$

= $$3$$

Kök 3 ise diğer kök

6-3

= $$3$$

olur. Köklerin çarpımı:

3\cdot 3

= $$9$$

Buna göre monik polinom

x^2-6x+9

olur ki bu tam sayılı katsayılara sahiptir ve görüntüde beklenen formla uyumludur.

Adım 5 — III. ifadeyi incele

III. ifade:

-12x+36=0

= $$-12x=-36$$

= $$x=\dfrac{-36}{-12}$$

= $$3$$

III. ifadenin kökü de 3 tür; II. ile aynı durumu verir ve monik polinom x^2-6x+9 ile uyumludur.

Adım 6 — Seçenek karşılaştırması

  • A) Yalnız I — YANLIŞ (I kökü 3/2 verir; monik ve tam katsayılı bir polinom bekleniyorsa uymaz)
  • B) I ve II — YANLIŞ (I uygun değil)
  • C) I ve III — YANLIŞ (I uygun değil)
  • D) II ve III — DOĞRU (her ikisi de kök 3 verir ve monik ikinci faktör için x^2-6x+9 ile uyumludur)
  • E) I, II ve III — YANLIŞ (I uygun değil)

Adım 7 — Son doğrulama

Monik ikinci faktör gerektiği için köklerin toplamı 6 ve tam katsayılı olması beklendiğinde kök 3 olan II ve III ifadeleri uygundur.

:white_check_mark: CEVAP: D) II ve III

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Kökler ve katsayı ilişkisi

  • Tanım: Bir ikinci dereceden polinomun kökleri toplamı -b/a, çarpımı c/a ile verilir.
  • Bu problemde: İlk faktörün kökleri toplamı 0 olduğundan diğer faktörün kökleri toplamı 6 olmalı.

2. Monik polinom

  • Tanım: Baş katsayısı 1 olan polinom.
  • Bu problemde: Görselde ikinci faktörün x^2 şeklinde başladığı için monik olduğu kabul edildi ve tam sayı katsayı aralığı esas alındı.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kökleri toplarken ilk faktörü unutmamak

  • Yanlış: Tüm kök toplamını doğrudan diğer faktörün kökleri toplamı sanmak.
  • Doğru: Önce ilk faktörün köklerini çıkarmalı, kalan toplamı diğer faktörün kökleri toplamı olarak almalısınız.
  • Neden yanlış: İlk faktör zaten iki kök verir; onların toplamı toplamdan düşülmelidir.
  • Düzeltme: İlk faktörün köklerini bulun, toplamlarını çıkarın, kalan toplamı diğer faktörün kökleri toplamı yapın.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: