Determine the truth of the statements regarding the discriminant of a quadratic equation

Maths Question
1

Soru:
A ve B are two distinct real numbers such that \
2

x^2 + 2(a + b)x + b^2 + a^2 = 0 \\

The discriminant of the second degree equation is Delta. \
According to this, \
I. , b > a , then , Delta < 0 \
II.

\, b = a \, then \, Delta = 0 \\

III. , b < a , then , Delta > 0 \
Which of the statements are always correct?

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

A ve B gerçek sayıları için verilen ikinci dereceden denklemin diskriminantının incelenmesi

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir ikinci derece denklemin ax^2 + bx + c = 0 diskriminantı,

\Delta = b^2 - 4ac

dir.
Diskriminantın işaretine göre köklerin durumu:

  • \Delta > 0 iki farklı gerçek kök vardır.
  • \Delta = 0 çift katlı gerçek kök vardır.
  • \Delta < 0 gerçek kök yoktur (karmaşık kökler vardır).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Denklemin Katsayılarını Belirle
Denklem:

2x^2 + 2(a+b)x + b^2 + a^2 = 0

Burada,
A = 2,
B = 2(a+b),
C = b^2 + a^2.

Adım 2 — Diskriminantı Yaz

\Delta = B^2 - 4AC = [2(a+b)]^2 - 4 \cdot 2 \cdot (b^2 + a^2)

Buradan:

\Delta = 4(a+b)^2 - 8(b^2 + a^2) = 4[(a+b)^2 - 2(b^2 + a^2)]

Adım 3 — İfadenin Parantez İçi Basitleştirmesi

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

O halde:

(a+b)^2 - 2(b^2 + a^2) = a^2 + 2ab + b^2 - 2b^2 - 2a^2 = 2ab - a^2 - b^2

Ya da şunu yazabiliriz:

2ab - (a^2 + b^2)

Adım 4 — Bu İfadeyi Başka Şekilde Yaz

a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \implies 2ab - (a^2 + b^2) = - (a - b)^2

Adım 5 — Diskriminantın Son Hali

\Delta = 4 \cdot (- (a - b)^2) = -4(a - b)^2

Adım 6 — Diskriminantın İşaretini İncele
(a - b)^2 \geq 0 ve ikinci derece olduğundan negatif alınır:

\Delta = -4(a - b)^2 \leq 0

Eşitlik durumu dışında \Delta < 0 olur.

Adım 7 — Sorudaki Durumları Kontrol Et

  • b > a ise \Delta = -4(b - a)^2 < 0 (çünkü karesi pozitif, önündeki negatif işaret negatif yapar) → I. ifade doğru.
  • b = a ise \Delta = -4(0)^2 = 0 → II. ifade doğru.
  • b < a ise \Delta = -4(a - b)^2 < 0, ama III. ifade \Delta > 0 diyor, bu yanlıştır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) I ve II ifadeleri her zaman doğrudur, III ifadesi yanlıştır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Diskriminant
  • Tanım: Bir ikinci dereceden denklemin köklerinin sayı ve türünü belirleyen ifade.
  • Bu problemde: Denklemin köklerinin varlığı ve türü için \Delta’nın işareti incelendi.
  1. Kare İşlemi ve İşaret İncelemesi
  • Tanım: Bir farkın karesi her zaman sıfır veya pozitif, negatif olamaz.
  • Bu problemde: \Delta ifadesi kare şeklinde sadeleştirildi ve işareti belirlendi.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

a ve b sıfırdan farklı iki gerçek sayı olmak üzere, 2x^2 + 2(a + b)x + b^2 + a^2 = 0 denkleminin diskriminantı Δ ise, aşağıdakilerden hangileri her zaman doğrudur?

I. b > a ise Δ < 0
II. b = a ise Δ = 0
III. b < a ise Δ > 0

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
İkinci dereceden denklem diskriminantı: \Delta = B^2 - 4AC

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Katsayıları belirle

Denklemdeki katsayılar:

A = 2

B = 2(a+b)

C = a^2 + b^2

Adım 2 — Δ ifadesini hesapla

\Delta = B^2 - 4AC
\Delta = [2(a+b)]^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 + b^2)
\Delta = 4(a+b)^2 - 8(a^2 + b^2)
\Delta = 4(a^2 + 2ab + b^2) - 8a^2 - 8b^2
\Delta = 4a^2 + 8ab + 4b^2 - 8a^2 - 8b^2
\Delta = -4a^2 + 8ab - 4b^2
\Delta = 4(-a^2 + 2ab - b^2)
\Delta = 4[-(a^2 - 2ab + b^2)]
\Delta = -4(a-b)^2

Adım 3 — İfadeleri değerlendir

  • Çünkü (a-b)^2 \ge 0 her zaman olduğundan, \Delta = -4(a-b)^2 \le 0 olur.

  • Eşitlik durumu: (a-b)^2 = 0 ise yani a=b ise \Delta = 0.

  • a \ne b ise (a-b)^2 > 0 ve dolayısıyla \Delta < 0.

Adım 4 — Seçenekleri incele

Adım 4.1 — A Seçeneğini İncele (Yalnız I)

  • I: b>a ise a-b < 0 ve (a-b)^2 > 0 olduğundan \Delta = -4(a-b)^2 < 0.
  • Sonuç: I doğrudur.
  • A seçeneği (Yalnız I) doğru olabilmesi için II ve III yanlış olmalıdır. II doğru olduğundan A yanlış olur.

Adım 4.2 — B Seçeneğini İncele (Yalnız II)

  • II: b=a ise (a-b)^2=0 ve \Delta=0.
  • Sonuç: II doğrudur.
  • B seçeneği (Yalnız II) doğru olabilmesi için I yanlış olmalıdır. Oysa I doğrudur; dolayısıyla B yanlış olur.

Adım 4.3 — C Seçeneğini İncele (Yalnız III)

  • III: b<a ise a-b > 0 ve (a-b)^2 > 0 olduğundan \Delta = -4(a-b)^2 < 0.
  • Sonuç: III yanlıştır (çünkü Δ>0 olmaz, Δ<0 olur).
  • C seçeneği (Yalnız III) yanlış olur.

Adım 4.4 — D Seçeneğini İncele (I ve II)

  • I doğrudur ve II doğrudur; bu yüzden D seçeneği geçerlidir.

Adım 4.5 — E Seçeneğini İncele (I, II ve III)

  • III yanlış olduğu için E yanlış olur.

Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması

:white_check_mark: A. Yalnız I — YANLIŞ (II de doğru olduğu için)

:white_check_mark: B. Yalnız II — YANLIŞ (I de doğru olduğu için)

:cross_mark: C. Yalnız III — YANLIŞ (III yanlış)

:white_check_mark: D. I ve II — DOĞRU (I ve II her zaman doğru)

:cross_mark: E. I, II ve III — YANLIŞ (III yanlış)

Adım 6 — Son Doğrulama

\Delta = -4(a-b)^2 ifadesi I ve II’nin her zaman doğru; III’ün ise her zaman yanlış olduğunu kesin olarak gösterir.

:white_check_mark: CEVAP: D) I ve II

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?