21
15. Yükseklikleri 8 birim olan dik dairesel silindir biçimindeki öz-
deş 128 tane madeni para aşağıdaki gibi üst üste konuluyor.
128 tane
4 birtn
L
aşağı-
B
S
M
A
Oluşan şeklin yüksekliği 4` birim olduğuna göre, x kaçtır?
Üslü İfadelerle Yükseklik Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \text{Toplam Yükseklik} = \text{Adet} \times \text{Bir Parçanın Yüksekliği}
- (a^m)^n = a^{m \cdot n}
- a^m \cdot a^n = a^{m+n}
- a^m = a^n \iff m = n \quad (a \neq 0, 1, -1)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Toplam Yükseklik Denklemini Kurma
Üst üste konulan 128 adet paranın her birinin yüksekliği 8^x birimdir. Bu paraların oluşturduğu toplam yükseklik 4^4 birim olarak verilmiştir.
\text{Toplam Yükseklik} = 128 \cdot 8^x = 4^4
Adım 2 — Tüm İfadeleri 2 Tabanında Yazma
Denklemdeki tüm terimleri ortak taban olan 2 tabanının kuvveti şeklinde ifade edelim:
128 = 2^7
8^x = (2^3)^x = 2^{3x}
4^4 = (2^2)^4 = 2^{2 \cdot 4} = 2^8
Adım 3 — Denklemi Çözme
Bulduğumuz değerleri denklemde yerine koyup üslü sayılarda çarpma kuralını uygulayalım:
2^7 \cdot 2^{3x} = 2^8
2^{7 + 3x} = 2^8
Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de birbirine eşit olmalıdır:
7 + 3x = 8
3x = 8 - 7
3x = 1
x = \frac{1}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
x = \frac{1}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Üssün Üssü Kuralı: (a^m)^n = a^{m \cdot n} bağıntısı kullanılarak farklı tabanlardaki üslü sayılar (4^4 ve 8^x) en sade asal tabana (2) indirgenir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 128 sayısını 2^6 olarak almak veya tabanları eşitlemeden doğrudan üsleri eşitlemeye çalışmak (128 \cdot 8^x = 4^4 \implies 8^x = 4^4 / 128).- Doğru Yaklaşım: 128 = 2^7 olduğunu dikkatle yazmak ve tüm sayıları aynı tabanda toplayarak üsler dengesini sağlamak.
Bu konuyla ilgili pekiştirme amacıyla benzer bir üslü denklem sorusu çözmek ister misin?