Derya; kümeler, fonksiyonlar ve mantık olmak üzere, üç matematik konusuna ait ders videolarını bir internet sitesi üzerinden izleyecektir. Sitedeki, her bir kümeler konusuna ait video 20 dakika, her bir fonksiyonlar konusuna ait video 30 dakika, her bir mantık konusuna ait video 24 dakikadır.
Derya videolar arası onar dakika mola vererek art arda toplam 6 video izlemiştir.
İlk videoyu saat 12:30’da izlemeye başlayan Derya, son videoyu izleyip bitirdiği anda saatin 15:52 olduğunu görüyor.
Buna göre, Derya fonksiyonlar konusuna ait kaç video izlemiştir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Doğrusal Denklem Sistemleri ve Zaman Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Toplam geçen süre; videoların süreleri ile videolar arasındaki molaların toplamına eşittir. n adet video art arda izlendiğinde video aralarında (n - 1) adet mola verilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Toplam Süreyi ve Mola Süresini Bulma
İlk video 12:30’da başlayıp son video 15:52’de bittiğine göre geçen toplam süre:
\text{Toplam Süre} = 15:52 - 12:30 = 3\text{ saat } 22\text{ dakika} = 3 \times 60 + 22 = 202\text{ dakika}
Toplam 6 video izlendiği için 6 - 1 = 5 kez 10’ar dakikalık mola verilmiştir:
\text{Toplam Mola Süresi} = 5 \times 10 = 50\text{ dakika}
Videoların net izlenme süresi:
\text{Net Video Süresi} = 202 - 50 = 152\text{ dakika}
Adım 2 — Denklem Sistemini Kurma ve Sadeleştirme
İzlenen kümeler videosu sayısına k, fonksiyonlar videosu sayısına f ve mantık videosu sayısına m diyelim:
k + f + m = 6
20k + 30f + 24m = 152
İkinci denklemi 2 ile sadeleştirelim:
10k + 15f + 12m = 76
Birinci denklemden k = 6 - f - m ifadesini yerine yazalım:
10(6 - f - m) + 15f + 12m = 76
60 - 10f - 10m + 15f + 12m = 76
5f + 2m = 16
Adım 3 — Değişkenleri Belirleme
f ve m birer doğal sayı olmak zorundadır. 2m ve 16 çift sayı olduğu için 5f ifadesi de çift olmalı, yani f çift sayı değerleri almalıdır:
- f = 0 için 2m = 16 \implies m = 8 olur. Toplam video sayısı 6 olduğundan bu durum olanaksızdır.
- f = 2 için:
5(2) + 2m = 16 \implies 10 + 2m = 16 \implies 2m = 6 \implies m = 3
k = 6 - (2 + 3) = 1
- f \ge 4 için 5(4) = 20 > 16 olacağından m negatif çıkar.
Bu durumda Derya 2 adet fonksiyonlar videosu izlemiştir.
CEVAP: B) 2 (f = 2)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Art arda gerçekleşen n tane etkinlik arasında her zaman (n-1) tane ara (mola) bulunur. Diophantus tipi tamsayı denklemlerinde (5f + 2m = 16) teklik-çiftlik incelemesi yapmak doğrudan sonuca ulaştırır.