- Bir düzgün sekizgenin alanını bulmak isteyen Derya, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi sekizgeni iki kare ve dört eşkenar dörtgene ayırarak bulmaya çalışmaktadır.
Derya, karelerden birinin çevresini 16 birim bulduğuna göre düzgün sekizgenin alanı kaç birimkaredir?
A) 32\sqrt{2} + 16
B) 64\sqrt{2}
C) 16\sqrt{2} + 32
D) 16\sqrt{2} + 48
E) 32\sqrt{2} + 32
Düzgün Sekizgenin Alanının Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜLLER / KURALLAR:
- Bir karenin çevresi: \text{Çevre} = 4a \implies a = \frac{\text{Çevre}}{4}
- Bir karenin alanı: A_{\text{kare}} = a^2
- Kenar uzunluğu a ve bir açısı \alpha olan eşkenar dörtgenin alanı: A_{\text{eşkenar dörtgen}} = a^2 \cdot \sin(\alpha)
- Düzgün sekizgenin bir iç açısı: \alpha_{\text{iç}} = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ
- Toplam Alan: \text{Alan} = 2 \cdot A_{\text{kare}} + 4 \cdot A_{\text{eşkenar dörtgen}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Düzgün Sekizgenin Bir Kenar Uzunluğunu Bulma
Şekildeki karelerin ve eşkenar dörtgenlerin birer kenarı düzgün sekizgenin kenarı ile çakışıktır. Karenin çevresi 16\text{ birim} olarak verildiğine göre:
a = \frac{16}{4} = 4\text{ birim}
Adım 2 — Karelerin Toplam Alanını Hesaplama
Şekilde 2 adet eş kare bulunmaktadır.
A_{\text{kare}} = a^2 = 4^2 = 16\text{ birimkare}
2\text{ karenin alanı} = 2 \times 16 = 32\text{ birimkare}
Adım 3 — Eşkenar Dörtgenin Açısını ve Alanını Hesaplama
Düzgün sekizgenin bir iç açısı 135^\circ, karenin bir iç açısı ise 90^\circ’dir.
Kare ile eşkenar dörtgenin birleştiği sekizgen köşesinde, eşkenar dörtgenin dar açısı:
\alpha = 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ
Kenar uzunlukları 4\text{ birim} ve aralarındaki açı 45^\circ olan bir eşkenar dörtgenin alanı:
A_{\text{eşkenar dörtgen}} = 4 \times 4 \times \sin(45^\circ) = 16 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}\text{ birimkare}
Adım 4 — Dört Eşkenar Dörtgenin Toplam Alanını Hesaplama
Şekilde 4 adet eşkenar dörtgen bulunmaktadır:
4\text{ eşkenar dörtgenin alanı} = 4 \times 8\sqrt{2} = 32\sqrt{2}\text{ birimkare}
Adım 5 — Düzgün Sekizgenin Toplam Alanını Bulma
Sekizgeni oluşturan parçaların alanlarını toplayalım:
\text{Toplam Alan} = 2\text{ Kare Alanı} + 4\text{ Eşkenar Dörtgen Alanı}
\text{Toplam Alan} = 32 + 32\sqrt{2} = 32\sqrt{2} + 32\text{ birimkare}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkıdır (32\sqrt{2} + 32\text{ birimkare})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Düzgün Çokgenlerde Parçalama Yöntemi
- Tanım: Karmaşık geometrik şekillerin alanını, alanı kolay hesaplanabilen bilinen şekillere (kare, üçgen, eşkenar dörtgen) bölerek hesaplama tekniğidir.
- Bu problemde: Düzgün sekizgen 2 kare ve 4 adet 45^\circ-135^\circ açılı eşkenar dörtgene ayrılarak doğrudan parçaların toplam alanından sonuca ulaşılmıştır.
2. Trigonometrik Alan Formülü
- Tanım: Kenar uzunlukları a, b ve aralarındaki açı \theta olan bir paralelkenar veya eşkenar dörtgenin alanı a \cdot b \cdot \sin(\theta) formülüyle bulunur.
- Bu problemde: Eşkenar dörtgenin alanı 4 \cdot 4 \cdot \sin(45^\circ) şeklinde pratikçe hesaplanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Eşkenar Dörtgenin Açısını Yanlış Belirlemek
- Yanlış: Eşkenar dörtgenin açılarını doğrudan 60^\circ-120^\circ veya 30^\circ kabul etmek.
- Doğru: Düzgün sekizgenin iç açısı olan 135^\circ’den karenin dik açısını (90^\circ) çıkararak 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ bulmak.
- Neden Yanlış: Sekizgenin köşesindeki açı bütünlüğü dikkate alınmadığında eşkenar dörtgenin alanı hatalı hesaplanır.
Benzer çokgen parçalama ve alan sorularıyla pratik yapmaya devam etmek ister misin?