Derin dondurucuya konan A santigrat sıcaklığındaki bir sıvının t dakika sonra sıcaklığı (S) santigrat türünden
S = A - 40 \cdot (1 - e^{-0,1 \cdot t})
formülü ile hesaplanmaktadır. (e doğal logaritma tabanı)
Dondurucuya konan özel sıvı -5 santigrat derecede donduğuna göre, sıvı konduktan kaç dakika sonra donar?
A) 2 \cdot \ln 2
B) 5 \cdot \ln 2
C) 2 \cdot \ln 10
D) 10 \cdot \ln 2
E) 20 \cdot \ln 10
Üstel Fonksiyonlar ve Doğal Logaritma ile Soğuma Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Üstel soğuma modellerinde bilinmeyen zaman değişkenini (t) bulmak için önce üstel ifade e^{k \cdot t} yalnız bırakılır, ardından her iki tarafın doğal logaritması (\ln) alınarak \ln(e^x) = x ve \ln(1/2) = -\ln 2 özelliklerinden yararlanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen Değerlerin Model Denkleminde Yerine Yazılması
Başlangıç sıcaklığı A = 15\ ^\circ\text{C} ve sıvının donma anındaki hedef sıcaklığı S = -5\ ^\circ\text{C} olarak verilmiştir. Bu değerleri S = A - 40 \cdot (1 - e^{-0,1 \cdot t}) bağıntısında yerine yazalım:
-5 = 15 - 40 \cdot \left(1 - e^{-0,1 \cdot t}\right)
Adım 2 — Üstel İfadeyi Yalnız Bırakma
15 sayısını eşitliğin sol tarafına atıp her iki tarafı -40’a bölelim:
-20 = -40 \cdot \left(1 - e^{-0,1 \cdot t}\right)
\frac{-20}{-40} = 1 - e^{-0,1 \cdot t} \implies \frac{1}{2} = 1 - e^{-0,1 \cdot t}
e^{-0,1 \cdot t} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
Adım 3 — Doğal Logaritma Alma ve t Değerini Bulma
Eşitliğin her iki tarafının doğal logaritmasını (\ln) alalım:
\ln\left(e^{-0,1 \cdot t}\right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right)
-0,1 \cdot t = -\ln 2
0,1 \cdot t = \ln 2 \implies \frac{1}{10} \cdot t = \ln 2 \implies t = 10 \cdot \ln 2\text{ dakika}
CEVAP: D) 10 · ln 2 (t = 10\ln 2\text{ dakika})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: \ln(1/a) = -\ln a özelliği sayesinde negatif katsayılardan hızla kurtulabilirsiniz. 0,1 = \frac{1}{10} kesrine dönüştürüldüğünde eşitliğin karşı tarafı doğrudan 10 ile çarpılır.