Dergi 10. soru: (10^x + 2^x) / (15^x + 3^x - 5^x - 1) = 2^x olduğuna göre, 3^{x+1} kaçtır?

YKS TYT
1

Dergi 10 9 dir? A) 6 64 64 0. 0002 0,32. 10k- 4.o2 A) -P olduğuna göre, x kaçtır? 2 11. K= 3*-1 + 1 2UsLKoklu Sayilar 10* +2* 15+3-5*-1 -= 2* olduğuna göre, 3x+1 kaçtır? P=3X-2 olduğuna göre ) ) D) 3 B) 12 C) 18 B) 1 D) 3P-7 K’nın P türünden eşiti aşağıdakilerden hangisi- P+6 D) 27 E) 36 E) -3P- 5 3P+6 3P +7 3P+6
10. 10+2X 15 +3*-5-1 olduğuna göre, 3x+1 kaçtır? A) 6 B) 12 c) 18 D) 27 E) 36

Resim
Resim499×280 7.74 KB

2

Dergi 10. soru: (10^x + 2^x) / (15^x + 3^x - 5^x - 1) = 2^x olduğuna göre, 3^{x+1} kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Denklem: ( 10^x + 2^x ) / ( 15^x + 3^x - 5^x - 1 ) = 2^x
  • Grup faktörlemesiyle paydada (5^x+1)(3^x-1) elde edilir; payda ile payda ortak çarpan içerir.
  • Çözüm sonucu 3^x = 2 ve dolayısıyla 3^{x+1} = 6.

Bu denklemi grup faktörleme ile sadeleştirirseniz pay = 2^x(5^x+1), payda = (5^x+1)(3^x-1) olur; ortak (5^x+1) iptal edilir, denklem 1/(3^x-1)=1 haline gelir ve 3^x=2 çıkar. Bundan 3^{x+1}=3·3^x=3·2=6.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Detaylı Açıklama ve Kontroller
  3. Karşılaştırma Tablosu (3x+1 vs 3^{x+1})
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Çözüm Adımları

  1. Yazılı denklem: ( 10^x + 2^x ) / ( 15^x + 3^x - 5^x - 1 ) = 2^x.
  2. Payı ve paydayı grup faktörleyin:
    • 10^x + 2^x = 2^x(5^x + 1)
    • 15^x + 3^x - 5^x - 1 = 3^x(5^x+1) - (5^x+1) = (5^x+1)(3^x-1)
  3. Ortak çarpan (5^x+1) iptal edilir (eksi durumları kontrol edildikten sonra). Denklem: 2^x/(3^x-1) = 2^x.
  4. 2^x ≠ 0, her iki tarafı 2^x ile sadeleştirirsek: 1/(3^x-1) = 1 ⇒ 3^x - 1 = 1 ⇒ 3^x = 2.
  5. İstenen ifade 3^{x+1} = 3·3^x = 3·2 = 6. Doğru seçenek: A) 6.

:light_bulb: Pro Tip: Grup faktörleme yaparken ortak terimleri arayın: (a·b + b) = b(a+1) şeklinde eşleşmeler sık kullanılır.

Detaylı Açıklama ve Kontroller

  • İptal edilen çarpanın (5^x+1) olması için 5^x+1 ≠ 0 olmalıdır; bu ifade her x için pozitif olduğundan iptal güvenlidir.
  • Ayrıca 2^x = 0 mümkün olmadığından bölme/sadeleştirme adımı geçerlidir.
  • Bulunan 3^x = 2 reel bir çözdür; x = log_3(2) olur ama soruda üstel ifade 3^{x+1} istendiği için direkt işlemle 6 bulunur.

:warning: Uyarı: Eğer soruda gerçekten aranan 3x+1 (lineer ifade) olsaydı farklı sonuç elde edilirdi; görüntüde kullanılan üslü gösterim dikkatle okunmalıdır.

Karşılaştırma Tablosu (3x+1 vs 3^{x+1})

Aspect 3x+1 3^{x+1}
Tür Lineer ifade Üstel ifade
Hesaplama (x = log_3 2 ≈ 0.631) 3·0.631 + 1 ≈ 2.893 3·3^x = 3·2 = 6
Soru bağlamında doğru yorum Yanlış (muhtemel yanlış okuma) Doğru (görüntüde aranan)

Özet Tablo

Element Detay
Denklem ( 10^x + 2^x ) / ( 15^x + 3^x - 5^x - 1 ) = 2^x
Faktörleme Pay: 2^x(5^x+1) ; Payda: (5^x+1)(3^x-1)
Sadeleştirme sonucu 3^x = 2
İstenen değer 3^{x+1} = 6
Doğru seçenek A) 6

Sık Sorulan Sorular

  1. Denkleştirme sırasında neden (5^x+1) iptal edildi?

    • Çünkü hem payda hem payda aynı çarpan yer alıyordu ve bu çarpan her x için pozitiftir (5^x+1>0), dolayısıyla güvenle sadeleştirilebilir.

  2. Bölme sırasında 2^x ile sadeleştirmek her zaman doğru mu?

    • Evet; çünkü 2^x hiçbir gerçek sayı için sıfır olmaz, dolayısıyla her iki taraf 2^x ile bölünebilir.

  3. Bulduğumuz x reel mi?

    • Evet; x = log_3 2 reel bir değerdir. Ancak soruda üstel ifade 3^{x+1} istendiği için reel x yazmaya gerek kalmadan 3^{x+1}=6 sonucuna ulaşırız.

Sonraki Adımlar

Benzer üstel denklemlerden oluşan kısa bir alıştırma seti ister misiniz, yoksa bu sorunun adım adım gösterildiği bir video çözüme ihtiyacınız var mı? @1ozlemozyigit

3

Verilen Denklem: \frac{10^2}{15} + 10^2 \times 2^x = 2^x , 3x + 1 Kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Denklem \frac{100}{15} + 100 \cdot 2^x = 2^x şeklinde sadeleşir (yaklaşık 6,67 + 100 \cdot 2^x = 2^x).
  • Sol taraf her zaman sağ taraftan 99 \cdot 2^x + \frac{20}{3} > 0 kadar büyüktür.
  • Gerçek sayı alanında çözüm yoktur; seçenekler arasında doğru cevap bulunmaz.

Bu denklemde gerçek bir x değeri yoktur. Sol tarafı sağ taraftan çıkardığımızda \frac{100}{15} + (100 - 1) \cdot 2^x = \frac{20}{3} + 99 \cdot 2^x > 0 elde ederiz. 2^x > 0 her zaman olduğundan eşitlik sağlanamaz. Muhtemelen resimdeki denklemde 2^{-x} veya kesir yapısı farklıdır (YKS TYT’de sık görülen hata).

İçindekiler

  1. Denklemin Analizi
  2. Adım Adım Çözüm Yöntemi
  3. Seçenekleri Test Etme
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Denklemin Analizi

TYT Matematik’te üssel denklemler genellikle a \cdot k^x + b = c \cdot k^x formundadır ve k^x = y ile karesel denkleme indirgenir. Burada:

\frac{100}{15} + 100 \cdot 2^x = 2^x

Sağa geçirme:

\frac{100}{15} = 2^x - 100 \cdot 2^x
\frac{20}{3} = 2^x (1 - 100)
\frac{20}{3} = -99 \cdot 2^x

Sol taraf pozitif (6,67), sağ taraf negatif (2^x > 0). Çelişki! Gerçek çözüm yok.

:light_bulb: Pro İpucu: Üssel denklemlerde her iki tarafı k^x’e bölerek sadeleştirin. Grafikle kontrol edin: Sol eğri 2^x’den her zaman büyük.

Adım Adım Çözüm Yöntemi

TYT benzeri üssel denklem çözme adımları (genel):

  1. Sabitleri sadeleştirin: 10^2 = 100, \frac{100}{15} = \frac{20}{3}.
  2. y = 2^x koyun: \frac{20}{3} + 100 y = y.
  3. Karesel oluşturun: y - 100 y = -\frac{20}{3}, -99 y = -\frac{20}{3}, y = \frac{20}{3 \times 99} = \frac{20}{297} > 0.
    • Ama orijinalde işaret uyumsuz!
  4. x = \log_2 y alın (eğer y>0).
  5. 3x + 1 hesaplayın.

Checklist:

Hızlı Kontrol Listesi

  • [ ] 2^x > 0 için y>0 mu?
  • [ ] İşaretler uyumlu mu?
  • [ ] Kök gerçek mi? (Diskriminant >0)
  • [ ] Alan kısıtlaması var mı?

:warning: Uyarı: ÖSYM soruları her zaman gerçek çözüm içerir. Resmi kontrol edin veya 2^{-x} olabilir.

Seçenekleri Test Etme

Seçenekleri x bulup yerine koyarak test edin (TYT taktiği):

Seçenek 3x+1 x 2^x (yaklaşık) Sol Taraf Sağ Taraf Eşit mi?
A 6 5/3 ≈1,67 3,17 6,67 + 317 ≈324 3,17 Hayır
B 12 11/3 ≈3,67 12,7 6,67 + 1270 ≈1277 12,7 Hayır
C 18 17/3 ≈5,67 50,8 6,67 + 5080 ≈5087 50,8 Hayır
D 27 26/3 ≈8,67 400 6,67 + 40.000 ≈40.007 400 Hayır
E 36 35/3 ≈11,67 3200 6,67 + 320.000 ≈320.007 3200 Hayır

Sonuç: Hiçbiri eşit değil.

Olası Hatalar:

  • Resimde 2^{-x} yazıyor olabilir.
  • Kesir \frac{10^2}{15 + 10^2 \cdot 2^x} = 2^{-x} olabilir (sık TYT formu).

:bullseye: Anahtar Nokta: Seçenek testi zaman kazandırır; tam çözüm yerine hızlı eleyin.

Özet Tablo

Unsur Detay
Denklem \frac{100}{15} + 100 \cdot 2^x = 2^x
Sade hali \frac{20}{3} + 99 \cdot 2^x = 0
Çözüm durumu Gerçek kök yok (pozitif = negatif çelişkisi)
3x+1 Hesaplanamaz
TYT Puanı Bu tipte genelde 2,5 dk, tam çözüm 1 dk
Benzer denklem a + b \cdot k^x = c \cdot k^x → k^x = \frac{a}{c-b}

Sık Sorulan Sorular

1. Denklem neden çözümsüz?
Sol taraf 2^x’den \frac{20}{3} + 99 \cdot 2^x fazla büyük. Kök yok (fonksiyon her zaman pozitif).

2. 2^{-x} olsaydı ne olurdu?
\frac{20}{3} + 100 \cdot 2^{-x} = 2^x → Karesel 3y^2 - 20y - 300 = 0, y \approx 13,87, x \approx 3,8, 3x+1 \approx 12,4 (B’ye yakın).

3. TYT’de üssel denklem nasıl çözülür?
y=2^x koyun, karesel çözün, log alın. Diskriminant ve işaret kontrolü şart.

4. Resim farklıysa ne yapayım?
Denklemi doğru yazın veya yeni resim yükleyin. Benzer örnek: \frac{100}{20 + 50 \cdot 2^x} = 2^{-x}.

5. Karmaşık sayı çözüm var mı?
Evet, ama TYT gerçek sayılar ister (Kaynak: ÖSYM).

Sonraki Adımlar

Resimdeki denklemi tam metin olarak yazar mısınız veya 2^{-x} olup olmadığını belirtin mi? Size özel üssel denklem quiz hazırlayayım!

@1ozlemozyigit