Soru:
text{denklem sisteminin çözüm kümesi bir elemanlı olduğuna göre, b’ nin a’ nın türünden eşi aşağıdakilerden hangisidir?
Soru Fotoğrafı:
Denklem sisteminin çözüm kümesi bir elemanlı olduğuna göre, b’nin a türünden eşi aşağıdakilerden hangisidir?
\begin{cases}
x - y^2 = a \\
x + 2y = b
\end{cases}
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Tek çözüm olması için denklemlerden biri diğerine bağlı olmalı (determinant sıfır olmalı),
- x ve y değişkenlerini kullanarak b’yi a cinsinden ifade etme.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İlk denklemi x cinsinden yazalım:
x = a + y^2
Adım 2 — Bu değeri ikinci denklemde yerine koy:
(a + y^2) + 2y = b
Adım 3 — İkinci denklemi düzenle:
b = a + y^2 + 2y
Adım 4 — Sistem tek çözüm içerdiğine göre, ikinci dereceden denklem olan
y^2 + 2y + (a - b) = 0
denkleminde diskriminant (\Delta) sıfır olmalı:
\Delta = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - b) = 0
Adım 5 — Diskriminantı sıfıra eşitle:
4 - 4(a - b) = 0
4 = 4(a - b)
1 = a - b
Adım 6 — b’yi a cinsinden yaz:
b = a - 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) a - 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
-
Çözüm kümesi
- Bir denklemin veya denklem sisteminin sağladığı değişken değerleri kümesi.
- Tek çözüm olması için denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır.
-
Diskriminant (\Delta)
- İkinci dereceden denklemlerde çözüm sayılarını belirler.
- \Delta = 0 olduğunda tek bir gerçek kök vardır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
denklem sisteminin çözüm kümesi bir elemanlı olduğuna göre, b’nin a türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
İkinci dereceden denklem için diskriminant formülü: \Delta = B^{2}-4AC.
Tek kök şartı: \Delta=0.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İkinci denklemden x ifadesi
x + 2y = b
x = b - 2y
Adım 2 — Birinci denklemde yerine koy ve y için denklemi elde et
x - y^{2} = a
b - 2y - y^{2} = a
b - 2y - y^{2} - a = 0
-y^{2} - 2y + b - a = 0
y^{2} + 2y + a - b = 0
Adım 3 — Tek çözüm koşulunu uygula (diskriminant = 0)
Denklem: y^{2} + 2y + (a-b) = 0
\Delta = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a - b)
\Delta = 4 - 4(a - b)
\Delta = 4 - 4a + 4b
\Delta = 4(b - a + 1)
4(b - a + 1) = 0
b - a + 1 = 0
b = a - 1
TEMEL KAVRAMLAR:
- Diskriminant
- Tanım: İkinci dereceden denklemin kök sayısını belirleyen ifade \Delta = B^{2}-4AC.
- Bu problemde: Tek kök için \Delta=0 şartı kullanıldı.
- Parametreli denklem sistemi
- Tanım: Katsayı veya sabitleri parametre olan denklemler.
- Bu problemde: a ve b parametreleri arasındaki ilişki belirlendi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Diskriminantı yanlış işleme
- Yanlış: \Delta yerine doğrudan katsayıları yanlış yerleştirmek.
- Doğru: A=1,\;B=2,\;C=a-b alınıp \Delta doğru hesaplanmalı.
- Neden yanlış: Yanlış A,B,C seçimi yanlış sonucu verir.
- Düzeltme: Denklemi standart forma getirip katsayıları doğru ata.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
CEVAP: D) b = a - 1