Denkleminin kökleri x, ve x,'dir

YKS TYT Forum
1

x2-6x+4 =0
denkleminin kökleri x, ve x,'dir.
Buna göre, x + x, toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
c) \5
D) 10
E) 10

x2-6x+4 =0 denkleminin kökleri x, ve x,'dir.
x2-6x+4 =0 denkleminin kökleri x, ve x,'dir.1024×759 98.6 KB

2

x^2 - 6x + 4 = 0 Denkleminin Kökleri İçin \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} Toplamı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER:

İkinci dereceden bir ax^2 + bx + c = 0 denkleminde:

  • Kökler Toplamı: x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
  • Kökler Çarpımı: x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
  • Tam Kare Özdeşliği: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Denklem Katsayılarını Belirleme ve Temel Bilgileri Yazma
Verilen denklemde a = 1, b = -6 ve c = 4 değerlerini görüyoruz. Buna göre:

  • x_1 + x_2 = -\frac{-6}{1} = 6
  • x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{1} = 4

Adım 2 — İstenen İfadeye Değişken Atama
Bizden istenen \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} toplamına A diyelim.
A = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}

Adım 3 — Her İki Yanın Karesini Alma
Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak köklü ifadelerden kurtulalım:
A^2 = (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2
A^2 = (\sqrt{x_1})^2 + 2(\sqrt{x_1} \cdot \sqrt{x_2}) + (\sqrt{x_2})^2
A^2 = x_1 + 2\sqrt{x_1 \cdot x_2} + x_2

Adım 4 — Bilinen Değerleri Yerine Yazma
Adım 1’de bulduğumuz değerleri denklemde yerine koyalım:
A^2 = (x_1 + x_2) + 2\sqrt{x_1 \cdot x_2}
A^2 = 6 + 2\sqrt{4}
A^2 = 6 + 2 \cdot 2
A^2 = 6 + 4 = 10

Adım 5 — Sonucu Bulma
A^2 = 10 ise, her iki tarafın karekökünü aldığımızda A = \sqrt{10} olur. (Köklerin toplamı ve çarpımı pozitif olduğu için sonuç pozitif olmalıdır.)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) \sqrt{10}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Kök ve Katsayı İlişkileri

  • Tanım: Denklemi çözmeden köklerin toplamını ve çarpımını bulmamızı sağlayan formüllerdir.
  • Bu problemde: Doğrudan kökleri bulmak yerine (ki kökler irrasyoneldir), bu ilişkileri kullanarak istenen toplamın karesine ulaştık.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kökleri Ayrı Ayrı Bulmaya Çalışmak

  • Yanlış: Diskriminant (\Delta) formülü ile x_1 ve x_2’yi bulup sonra kareköklerini almaya çalışmak işlemleri çok karmaşıklaştırır.
  • Doğru: Bu tür “toplam” sorularında her zaman ifadenin karesini alarak kökler toplamı ve çarpımına benzetmeye çalışmalısınız.
  • Neden yanlış: Zaman kaybına ve işlem hatası riskine yol açar.

Bu çözüm yoluyla ilgili merak ettiğin başka bir detay var mı? Benzer bir “kökler arası ilişki” sorusu daha çözmek ister misin?